シュリニヴァーサ・ラマヌジャン

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シュリニヴァーサ・アイヤンガー・ラマヌジャン（Srinivasa Aiyangar Ramanujan、1887年12月22日 - 1920年4月26日）はインドの数学者。極めて直感的、天才的な閃きにより「インドの魔術師」の異名を取った。

生涯

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クンバコナムのサランガパニー通りにあるラマヌジャンの生家。

1887年、南インドのタミル・ナードゥ州タンジャーヴール県クンバコナムの極貧のバラモン階級の家庭に生まれた。幼少の頃より母親から徹底したヒンドゥー教の宗教教育を受けた（このことはのちに渡英するラマヌジャンの運命に小さからぬ影響を与えることになる）。幼い頃から非常に優秀で、数学にも強い関心を寄せていた。ハイスクールでは全科目で成績が悪く、高等数学の正式な教育は受けていなかった[1]。15歳のときにジョージ・カー (George Shoobridge Carr) という数学教師が著した『純粋数学要覧』という受験用の数学公式集に出会ったことが彼の方向性を決めた。

奨学金を得てマドラスのパッチャイヤッパル大学に入学したが、数学に没頭するあまり他の科目の授業に出席しなくなり、1906年12月にファインアートの科目の学位認定試験に落第し、次の年度にも再び落第したため、奨学金を打ち切られて学位を得ないまま中途退学に追い込まれた[2]。しばらく独学で数学の研究を続けていたが、やがて港湾事務所の事務員の職に就き、そこで上司の理解に恵まれ、仕事を早めに終えて、職場で専ら数学の研究に没頭していた。

その後、周囲の勧めもあって、1913年、イギリスのヒル教授、ベイカー教授、ボブソン教授に研究成果を記した手紙を出す。しかし手紙は黙殺された。

けれどもケンブリッジ大学のゴッドフレイ・ハロルド・ハーディは、ラマヌジャンの手紙を読み、最初は「狂人のたわごと」程度にしかとらなかったものの、やがてその内容に驚愕した。というのも、ラマヌジャンの成果には明らかに間違っているものや既知のものもあるが、中には「この分野の権威である自分でも真偽を即断できないもの」、「自分が証明した未公表の成果と同じもの」がいくつか書かれていたからである[3]。

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ケンブリッジ大学トリニティ・カレッジにて他の科学者と共に撮影。中央がラマヌジャン。
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ケンブリッジ大学トリニティ・カレッジヒューウェル寮

こうしてハーディはラマヌジャンをケンブリッジ大学に招聘し、ラマヌジャンは1914年に渡英する。しかしイギリスでの生活に馴染むことができず、やがて病いを患ってインドに帰国、1920年に病死した。ラマヌジャンは敬虔なヒンドゥー教徒であり厳格な菜食主義者だったが、第一次世界大戦下のイギリスはドイツによる通商破壊もあり、そのような食材は確保が困難だった。こうしたことが原因で、ラマヌジャンは身体的な衰弱を来たしたものとされる。なお、ラマヌジャンの病気は結核か重度のビタミン欠乏症、あるいは近年の研究ではアメーバ性肝炎と言われる[4]。

渡英後に発表した四十編の論文の他には、渡英前の数学的発見を記したノート三冊、帰国後に記された「失われたノートブック」が残っている。ただし、大学で系統的な数学教育を受けなかったため、彼は「証明」という概念を持っておらず、得た「定理」に関して彼なりの理由付けをするに留まっていた（寝ている間にナーマギリ女神が教えてくれた、など）。共同研究を行っていたハーディも、彼の直感性を損ねることを恐れて証明を押し付けることは避け、朝ラマヌジャンが持ってきた半ダースもの「定理」を一日かけて改めて証明するという方法をとった。明確な証明を付けなかったことで、ラマヌジャンの業績は理解されにくいものとなった。彼が26歳までに発見した定理に関して、その後多くの数学者の協力で証明が行われたが、その作業が完了したのは1997年である。

渡英前のノートに記された公式群は、既に知られていたものも多かったが、連分数や代数的級数などに関しては新しい発見があった。渡英後に発表したラマヌジャンの保型形式、それに関連したラマヌジャン予想は重要な未解決問題であった（1974年にドリーニュが解決）。その他、ロジャース・ラマヌジャン恒等式の再発見や確率論的整数論を創始した功績も高く評価されているが、帰印後のハーディへの手紙に記された「擬テータ関数」の発見が最高の仕事と評されている。後にハーディはラマヌジャンの仕事について、以下のように述懐している。

（ラマヌジャンの仕事は）真に偉大な仕事の単純さと不可避性を備えてはいなかった。それは奇妙さが減れば、より偉大になっただろう。しかしそこには誰も否定できない天賦の才能があった。それは深く無敵の独創性である。もし彼がもっと若い頃に発見され、馴らされていたら、おそらくもっと偉大な数学者になって、新しい発見やより重要な発見をしただろう。一方、彼はそれほど「ラマヌジャン的」でなくなり、ヨーロッパの教授風になって、得るものより失うもののほうが大きかったかもしれない。

また、ハーディは1から100までの点数で数学者をランク付けするのが好きだった。それによると、ハーディ自身は25点、リトルウッドが30点、偉大なるヒルベルトが80点、そしてラマヌジャンが100点だった[5]。ハーディは謙遜して自分をわずか25点にしか評価していないが、ラマヌジャンに100点を与えたのは、彼の業績に対してハーディが抱いていた尊敬の度合いを表している[6]。

ラマヌジャンの τ 関数

ラマヌジャンは、現在ラマヌジャンのデルタと呼ばれている次の保型形式を計算した。

[math]\Delta =x \prod^{\infin}_{n=1} (1-x^n)^{24} = \sum^{\infin}_{n=1} \tau(n)x^n[/math]

彼は x のべきの係数 [math]\tau (n)[/math] が乗法的な関数であることを見抜き、さらにそこから

[math]\sum^{\infin}_{n=1} \tau(n) n^{-s}[/math]

を考えて、そのオイラー積表示

[math]\prod_p \frac{1}{1-\tau (p)p^{-s} +p^{11-2s}}[/math]

を与えた（正確には、「証明」していないが）。このオイラー積には p−2s という p−s の2次の因子が現れており、このようなオイラー積はラマヌジャンによって初めて発見されたものである（「2次のゼータ」の発見）。

タクシー数

ラマヌジャンの逸話として有名なものの一つに次のものがある。

1918年2月ごろ、ラマヌジャンは療養所に入っており、見舞いに来たハーディは次のようなことを言った。

「乗ってきたタクシーのナンバーは1729だった。さして特徴のない数字だったよ」

これを聞いたラマヌジャンは、すぐさま次のように言った。

「そんなことはありません。とても興味深い数字です。それは2通りの2つの立方数の和で表せる最小の数です」

実は、1729は次のように表すことができる。

1729 = 123 + 13 = 103 + 93

すなわち、1729が「A = B3 + C3 = D3 + E3」という形で表すことのできる数 A のうち最小のものであることを、ラマヌジャンは即座に指摘したのである。

このようなことから、リトルウッドは「全ての自然数はラマヌジャンの個人的な友人だ」と述べたと言われる。この逸話のため、1729は俗にハーディ・ラマヌジャン数やタクシー数などと呼ばれており、スタートレックやフューチュラマなどのSFや、ハッカー文化の文脈では「一見すると特に意味のない数」のような文脈でこの数が使われていることがある。ちなみに1729は、カーマイケル数でもある。

この逸話には続きがあり、ハーディが四乗数でも同様のものがあるのかを尋ねた所、ラマヌジャンは少し考えた後「あると思うが大きすぎて分からない」と答えたという。この直感は当たっており、実際、四乗数はそれより何桁も大きい数である。

635 318 657 = 1344 + 1334 = 1584 + 594

補足：上記でいう立方数は自然数を3乗した数のことであり、整数（0は含まず）を3乗した数として負の数まで含めれば、91が最小（絶対値が最小）である。

91 = 63 + (−5)3 = 43 + 33
"「タクシー数」、「キャブタクシー数」、および「一般化タクシー数」"

タクシー数とK3曲面

ラマヌジャンが1729という数字を何故意識していたのか、没後90年以上よく分っていなかったが、21世紀に入って理由が判明した。

2013年、エモリー大学のケン・オノはアンドリュー・グランヴィル（English版）と共にケンブリッジ大学が所蔵するラマヌジャンの遺稿を調査した。その際、インド帰国後の1919年に病床で記したノートの中に、1729の計算とそれにまつわる覚書があるのを発見した。オノとグランヴィルが驚いたことに、ラマヌジャンはその中で次数3である場合のフェルマーの最終定理の「反例に近い値」を無限個生成する式を与えていた[7][8]。つまり、a3 + b3 = c3 + 1 または a3 + b3 = c3 − 1を満たす a, b, c を探すという問題に対する答である。1729は103 + 93 = 123 + 13としてこの計算の中に現れる。

オノはこの発見を持ち帰り、彼の指導院生であるTrebat-Lederと共に精査した結果、この時ラマヌジャンは答を導出する過程で1729と楕円曲線から今日で言うK3曲面を構成していたことを発見した[9][10]。これはアンドレ・ヴェイユによるK3曲面の再発見と命名に30年以上先行する仕事である。更にラマヌジャンのK3曲面はランク≧2の楕円曲線を無限個生成するという特別な性質を持っていた。プリンストン大学のマンジュル・バルガヴァはこれを「これまで未知だった性質を示す素晴らしい例」であり、数学にまた新たな発展をもたらすだろうと述べた[7]。

具体的には、ラマヌジャンは一般に

[math]X^3+Y^3=Z^3+W^3[/math]

を考察し（有理数解を与える一般的な公式は既にレオンハルト・オイラーによって発見されており、そこから無限個の整数解が得られる[11]が、すべての整数解を与える一般的な公式は知られていない）、1913年に無限個の解を与える公式

[math](6A^2-4AB+4B^2)^3+(-3A^2-5AB+5B^2)^3=(4A^2-4AB+6B^2)^3+(5A^2-5AB-3B^2)^3[/math]

を発見し、その後オイラーの一般有理解と等価な一般有理解の公式を得ている。

オノらは、上記の整数解で t = A/B としたもの

[math](6t^2-4t+4)^3+(-3t^2-5t+5)^3=(4t^2-4t+6)^3+(5t^2-5t-3)^3[/math]

は楕円曲線

[math]X^3+Y^3=k(t), k(t)=63(3t^2-3t+1)(t^2+t+1)(t^2-3t+3)[/math]

の2つの有理点を与え、さらにこの楕円曲線は関数体 [math]\mathbb{Q}(t)[/math] 上の楕円曲線とみると階数2をもち、[math](6t^2-4t+4, -3t^2-5t+5), (4t^2-4t+6, 5t^2-5t-3)[/math] によって生成されることを示した。特に、与えられた有理数 t に対して（有限個の例外を除き）この楕円曲線は有理数上2以上の階数をもつ。また曲面

[math]X^3+Y^3=k(Z)[/math]

は楕円K3曲面であることを示したのである[12]。

円周率の公式

ラマヌジャンは、今日ではモジュラー関数と呼ばれる考えを元に、次の円周率の公式を発見した。

[math]\frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{99^2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(4n)!(1103+26390n)}{(4^n99^nn!)^4}[/math]
[math]\frac{4}{\pi}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(4n)!(1123+21460n)}{882^{2n+1}(4^nn!)^4}[/math]

これらの公式は、収束が非常に早いものとして知られている。1985年に、ウィリアム・ゴスパー (William Gosper) は、1番目の式を用いて、当時としては世界最高の1752万6200桁を計算した。ただしラマヌジャンは証明を書き残していなかったので、ゴスパーの計算が正しく円周率を与えるかは保証されなかったが、得られた結果はそれまでに計算されていた円周率の値と整合したので、式の正しさのある意味で実験的な「証明」を与えたことになる。これらの式はその後に数学的に正当な方法で証明された。

また、次のような円周率に関する近似式も発見している。

[math]\pi \approx \sqrt[4]{\frac{2143}{22}} = 3.1415926525\cdots[/math]
[math]\pi \approx \frac{63\left(17+15\sqrt5\right)}{25\left(7+15\sqrt5\right)} = 3.1415926538\cdots[/math]
[math]\frac{1}{2\pi \sqrt2} \approx \frac{1103}{99^2} \iff \pi \approx 3.1415927\cdots[/math]

著作

原書は1927年にラマヌジャンの死後に出版された。数学の専門誌に掲載されたラマヌジャンの論文37編を収録。第3版にはブルース・バーントの注釈が追加されている。
  • S. Ramanujan (1957). Notebooks (2 Volumes). Bombay, India: Tata Institute of Fundamental Research. 
ラマヌジャンによって記されたノートブックの影印を収録。
  • S. Ramanujan (1988). The Lost Notebook and Other Unpublished Papers. New Delhi, India: Narosa. ISBN 3-540-18726-X. 
ラマヌジャンの“失われたノートブック”の影印を収録。
  • K. Srinivasa Rao. “Questions by Srinivasa Ramanujan”. Journal of the Indian Mathematical Socity. . 2012閲覧.
  • S. Ramanujan (2012). Notebooks (2 Volumes). Bombay, India: Tata Institute of Fundamental Research. 
チェンナイのRoja Muthiah Research Libraryにより直筆草稿よりスキャンされたマイクロフィルムから作成。

脚注

  1. ↑ 「脳のなかの幽霊」V・S・ラマチャンドラン，1999
  2. ↑ Kanigel(1991)、pp.55 f。カニーゲル (1994)、pp.59-61。
  3. ↑ 藤原(2002)、p. 163。
  4. ↑ D. A. B. YOUNG, Ramanujan's illness, Current Sci. 67, no. 12 (1994), 967–972
  5. ↑ Kanigel(1991)、p. 226。カニーゲル(1994)、p. 221。
  6. ↑ ハーディの採点基準では採点外のその他大勢が存在するため、25点や100点というのは「点数を付けるに値する」対象内での評価点となる。ハーディ自身己の業績にかなりの自負を持っているが、それでも25点程度だろうとした上でラマヌジャンを100点と評価している。
  7. ↑ 7.0 7.1 Clark, Carol (2015-10-14), Mathematicians find 'magic key' to drive Ramanujan's taxi-cab number, Phys, https://phys.org/news/2015-10-mathematicians-magic-key-ramanujan-taxi-cab.html . 2017閲覧. 
  8. ↑ Freiberger, Marianne (2015-11-03), Ramanujan surprises again, Plus, https://plus.maths.org/content/ramanujan . 2017閲覧. 
  9. ↑ Ono, Ken; Trebat-Leder, Sarah (2016-10-17), “The 1729 K3 surface”, Research in Number Theory (Springer), https://resnumtheor.springeropen.com/articles/10.1007/s40993-016-0058-2 . 2017閲覧. 
  10. ↑ Ono, Ken; Trebat-Leder, Sarah (2017-02-10), “Erratum to: The 1729 K3 surface”, Research in Number Theory (Springer), https://resnumtheor.springeropen.com/articles/10.1007/s40993-017-0076-8 . 2017閲覧. 
  11. ↑ アドルフ・フルヴィッツによって単純化された公式がHardy & Wright (2008, Theorem 235)に掲載されている
  12. ↑ テンプレート:Harvard citations

参考文献

関連文献

関連項目

外部リンク



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