ラマヌジャンの和公式
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ラマヌジャンの和公式（ラマヌジャンのわこうしき、Ramanajan's summation formula）はq超幾何級数[math]{_1\psi_1}[/math]の和を与える公式である[1]。
- [math]{_1\psi_1}\left[\begin{matrix}a\\b\end{matrix};q,z\right]=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}z^{n}=\frac{(az;q)_\infty(q;q)_\infty\left(\frac{q}{az};q\right)_\infty\left(\frac{b}{a};q\right)_\infty}{(z;q)_\infty(b;q)_\infty\left(\frac{b}{az};q\right)_\infty\left(\frac{q}{a};q\right)_\infty}\qquad(|q|\lt 1,|b/a|\lt |z|\lt 1)[/math]
証明
ラマヌジャンの和公式はq二項定理から導かれる。[math]n[/math]が負の整数であれば
- [math]\frac{1}{(q;q)_n}=\frac{1}{\displaystyle\prod_{k=n}^{-1}\frac{1}{(1-q^{1+k})}}=\prod_{k=n}^{-1}(1-q^{1+k})=0\qquad(-n\in\mathbb{N})[/math]
であるから、q二項定理は
- [math]\frac{(az;q)_\infty}{(z;q)_\infty}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n[/math]
と書ける。[math]k[/math]を任意の正の整数として
- [math]\begin{align}\frac{(az;q)_\infty}{(z;q)_\infty} &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_{n+k}}{(q;q)_{n+k}}z^{n+k}\\ &=\frac{(a;q)_k}{(q;q)_k}z^k\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(aq^k;q)_n}{(q^{1+k};q)_n}z^n\\ \end{align}[/math]
であるから
- [math]\begin{align}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(aq^k;q)_n}{(q^{1+k};q)_n}z^{n} &=\frac{(az;q)_\infty(q;q)_k}{(z;q)_\infty(a;q)_k}z^{-k}\\ &=\frac{(az;q)_k(aq^kz;q)_\infty(q;q)_k}{(z;q)_\infty(a;q)_k}z^{-k}\\ &=\frac{(az;q)_k(aq^kz;q)_\infty(q;q)_\infty}{(z;q)_\infty(a;q)_k(q^{1+k};q)_\infty}z^{-k}\\ &=\frac{(aq^kz;q)_\infty(q;q)_\infty(aq^kq^{-k}z;q)_k}{(z;q)_\infty(q^{1+k};q)_\infty(aq^kq^{-k};q)_k}z^{-k}\\ \end{align}[/math]
である。[math]aq^k[/math]を[math]a[/math]と書き、qポッホハマー記号の変換式
- [math]\left(aq^{-n};q\right)_n=\left(-\frac{a}{q}\right)^nq^{-n(n-1)/2}\left(\frac{q}{a};q\right)_n[/math]
により
- [math]\begin{align}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q^{1+k};q)_n}z^{n} &=\frac{(az;q)_\infty(q;q)_\infty(aq^{-k}z;q)_k}{(z;q)_\infty(q^{1+k};q)_\infty(aq^{-k};q)_k}z^{-k}\\ &=\frac{(az;q)_\infty(q;q)_\infty\left(\frac{q}{az};q\right)_k}{(z;q)_\infty(q^{1+k};q)_\infty\left(\frac{q}{a};q\right)_k}\\ &=\frac{(az;q)_\infty(q;q)_\infty\left(\frac{q}{az};q\right)_\infty\left(\frac{q^{1+k}}{a};q\right)_\infty}{(z;q)_\infty(q^{1+k};q)_\infty\left(\frac{q^{1+k}}{az};q\right)_\infty\left(\frac{q}{a};q\right)_\infty}\\ \end{align}[/math]
となり、[math]q^{1+k}[/math]を[math]b[/math]と書き、
- [math]\begin{align}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}z^{n} &=\frac{(az;q)_\infty(q;q)_\infty\left(\frac{q}{az};q\right)_\infty\left(\frac{b}{a};q\right)_\infty}{(z;q)_\infty(b;q)_\infty\left(\frac{b}{az};q\right)_\infty\left(\frac{q}{a};q\right)_\infty}\qquad(b=q^k,k\in\mathbb{N})\\ \end{align}[/math]
となる。さて、左辺は
- [math]\begin{align}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}z^{n} &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}z^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a;q)_{-n}}{(b;q)_{-n}}z^{-n}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}z^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(bq^{-n};q)_n}{(aq^{-n};q)_n}z^{-n}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}z^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(\frac{q}{b};q\right)_n}{\left(\frac{q}{a};q\right)_n}\left(\frac{b}{az}\right)^n\\ \end{align}[/math]
であるから、[math]|q|\lt 1,|z|\lt 1,|b|\lt |az|,|b|\lt 1,|a|\gt |q|[/math]で収束する。従って、両辺とも[math]b[/math]の関数として考えれば[math]b=0[/math]で正則であり、[math]b=q^k\to0[/math]で両辺が一致するから一致の定理により大局的にも一致する。