q超幾何級数

数学において、q超幾何級数（qちょうきかきゅうすう、英: q-hypergeometric series）は超幾何級数のq-類似である。q超幾何級数は

[math]\begin{align} {}_r\phi_s \left[ \begin{matrix} a_1, a_2, \dotsc, a_r \\ b_1, b_2, \dotsc, b_s \end{matrix}; q, z \right] &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a_1;q)_n (a_2;q)_n \dotsb (a_r;q)_n}{(b_1;q)_n (b_2;q)_n \dotsb (b_s;q)_n (q;q)_n} \left((-1)^nq^{n(n-1)/2}\right)^{s+1-r} z^n \\ {}_r\psi_s \left[ \begin{matrix} a_1, a_2, \dotsc, a_r \\ b_1, b_2, \dotsc, b_s \end{matrix}; q, z \right] &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{(a_1;q)_n (a_2;q)_n \dotsb (a_r;q)_n}{(b_1;q)_n (b_2;q)_n \dotsb (b_s;q)_n} \left((-1)^nq^{n(n-1)/2}\right)^{s-r} z^n \\ \end{align}[/math]

の形式で表される級数であるが、中でも

[math]\begin{align} {}_r\phi_{r-1} \left[ \begin{matrix} a_1, a_2, \dotsc, a_r \\ b_1, b_2, \dotsc, b_{r-1} \end{matrix}; q, z \right] &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a_1;q)_n (a_2;q)_n \dotsb (a_r;q)_n}{(b_1;q)_n (b_2;q)_n \dotsb (b_{r-1};q)_n (q;q)_n} z^n \\ {}_r\psi_r \left[ \begin{matrix} a_1, a_2, \dotsb, a_r \\ b_1, b_2, \dotsb, b_{r} \end{matrix}; q, z \right] &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{(a_1;q)_n (a_2;q)_n \dotsb (a_r;q)_n}{(b_1;q)_n (b_2;q)_n \dotsb (b_r;q)_n} z^n \\ \end{align}[/math]

が多く研究されている。但し、

[math]\begin{align} (x;q)_0 &= 1\\ (x;q)_n &= \prod_{k=0}^{n-1} (1-xq^k)\\ \end{align}[/math]

はqポッホハマー記号である。なお、厳密にいうと、右辺の級数がq超幾何級数であり、左辺の記号は級数の和によって定義されるq超幾何関数を表すものである。

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参考文献

• 堀田良之・渡辺敬一・庄司俊明・三町勝久: 群論の進化, 代数学百科, I, 朝倉書店, 2004 年