超幾何級数
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数学において、超幾何級数（ちょうきかきゅうすう、英: hypergeometric series）は、一般に
- [math]_rF_s \left[ \begin{matrix}a_1, a_2, \dotsc, a_r \\ b_1, b_2, \dotsc, b_s \end{matrix}; z \right] := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a_1)_n (a_2)_n \dotsb (a_r)_n}{(b_1)_n (b_2)_n \dotsb (b_s)_n \; n!} z^n[/math]
- [math]\begin{align} (x)_0 &:= 1, \\ (x)_n &:= \prod_{k=0}^{n-1} (x+k) \\ \end{align}[/math]
[math]F(a,b,c;z):={_2F_1}\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n\;n!}z^n[/math]
を単に超幾何級数という。なお、厳密にいうと、右辺の級数が超幾何級数であり、左辺の記号は級数の和によって定義される超幾何関数を表すものである。
Contents
収束条件
超幾何級数[math]_rF_s[a_1,\dots,a_r;b_1,\dots,b_s;z][/math]は、[math]r\lt s+1[/math]であれば絶対収束し、[math]r\gt s+1[/math]であれば発散する。[math]r=s+1[/math]の場合は、[math]|z|\lt 1[/math]であれば絶対収束し、[math]|z|\gt 1[/math]であれば発散する。[math]|z|=1[/math]の場合は、[math]\sum\real{a_j}\lt \sum\real{b_j}[/math]であれば絶対収束し、[math]\sum\real{a_j}\gt \sum\real{b_j}[/math]であれば発散する。但し、[math]a_j[/math]又は[math]b_j[/math]が正でない整数[math]k\in\mathbb{Z}\setminus\mathbb{N}[/math]である場合は、[math](a_j)_{n{\ge}k}=0[/math]となって[math]{z}\lt \infty[/math]で収束、或いは[math](b_j)_{n{\ge}k}=0[/math]となって[math]z\ne0[/math]で発散する場合がある。
収束条件の証明
第[math]n[/math]項を[math]c_n[/math]とする:
- [math]\begin{align} {}_rF_{r-1} \left[ \begin{matrix} a_1, a_2, \dotsc, a_r \\ b_1, b_2, \dotsc, b_{r-1} \end{matrix}; z \right] = \sum_{n=0}^{\infty} c_nz^n \\ c_n = \frac{(a_1)_n (a_2)_n \dotsb (a_{r-1})_n (a_r)_n}{(b_1)_n (b_2)_n \dotsb (b_{r-1})_n \; n!} \end{align}[/math]
公比は
- [math]\lim_{n\to\infty} \frac{c_{n+1}}{c_{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{(a_1+n) (a_2+n) \dotsb (a_{r-1}+n) (a_r+n)}{(b_1+n) (b_2+n) \dotsb (b_{r-1}+n)(1+n)}z = z[/math]
であるから、[math]|z|\lt 1[/math]であれば絶対収束し、[math]|z|\gt 1[/math]であれば発散する。[math]|z|=1[/math]の場合は、
- [math]\begin{align} \frac{a+n}{n} &= 1+\frac{a}{n}+O\left(n^{-2}\right)\qquad(n{\gg}a)\\ \frac{n}{b+n} &= 1-\frac{b}{n}+O\left(n^{-2}\right)\qquad(n{\gg}a)\\ \end{align}[/math]
であるから、
- [math]\begin{align} \frac{c_{n+1}}{c_{n}} &= \prod_{j=1}^{r} \left( 1 + \frac{a_j}{n} \right) \cdot \prod_{j=1}^{r-1} \left( 1 - \frac{b_j}{n} \right) \cdot \left( 1 - \frac{1}{n} \right) + O \left( n^{-2} \right) \\ &= 1 + \sum_{j=1}^{r} \frac{a_j}{n} - \sum_{j=1}^{r-1} \frac{b_j}{n} - \frac{1}{n} + O \left( n^{-2} \right) \qquad (n \gg a_j, b_k) \\ \left| \frac{c_{n+1}}{c_{n}} \right|^2 &= \left( 1 + \sum_{j=1}^{r} \frac{\real{a_j}}{n} - \sum_{j=1}^{r-1} \frac{\real{b_j}}{n} - \frac{1}{n} \right)^2 + \left( \sum_{j-1}^{r} \frac{\image{a_j}}{n} - \sum_{j=1}^{r-1} \frac{\image{b_j}}{n} \right)^2 + O \left( n^{-2} \right) \\ &= 1 + \frac{2}{n} \left( \sum_{j=1}^{r} \real{a_j} - \sum_{j=1}^{r-1} \real{b_j} - 1 \right) + O \left( n^{-2} \right) \qquad (n \gg a_j, b_k) \\ \left| \frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right| &= 1 - \frac{1}{n} \left( \sum_{j=1}^{r} \real{a_j} - \sum_{j=1}^{r-1} \real{b_j} - 1 \right) + O \left( n^{-2} \right) \qquad (n \gg a_j, b_k) \\ \end{align}[/math]
であり、
- [math]\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{|c_{n}|}{|c_{n+1}|}-1\right)-1=-\left(\sum_{j=1}^{r}\real{a_j}-\sum_{j=1}^{r-1}\real{b_j}\right)[/math]
である。従って、ラーペの判定法により、[math]\sum\real{a_j}-\sum\real{b_j}\lt 0[/math]であれば絶対収束し、[math]\sum\real{a_j}-\sum\real{b_j}\gt 0[/math]であれば発散する。
超幾何関数
超幾何級数で定義される、或いは表示される関数を超幾何関数という。超幾何関数は多くの初等関数や特殊関数を包含する。
- [math]\begin{align} (1-z)^{-a} &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-a)(-a-1)\cdots(-a-n+1)}{n!}(-z)^n={_1F_0}\left[\begin{matrix}a\\-\end{matrix};z\right]\\ e^z &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}z^n={_0F_0}\left[\begin{matrix}-\\-\end{matrix};z\right]\\ \sin z &= z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n}=z\cdot{_0F_1}\left[\begin{matrix}-\\\frac{3}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\\ \cos z &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}={_0F_1}\left[\begin{matrix}-\\\frac{1}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\\ \log(1+z) &= z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}z^{n}=z\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}1,1\\2\end{matrix};-z\right]\\ \log\left(\frac{1+z}{1-z}\right) &= 2z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2n+1}z^{2n}=2z\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2},1\\\frac{3}{2}\end{matrix};z^2\right]\\ \sin^{-1}z &= z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}z^{2n}=z\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2},\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix};z^2\right]\\ \tan^{-1}z &= z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}z^{2n}=z\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2},1\\\frac{3}{2}\end{matrix};-z^2\right]\\ \end{align}[/math]
完全楕円積分
- [math]\begin{align} K(k) &= \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2k^{2n}}=\frac{\pi}{2}\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2},\frac{1}{2}\\1\end{matrix};k^2\right]\\ E(k) &= \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2\frac{k^{2n}}{1-2n}}=\frac{\pi}{2}\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\\1\end{matrix};k^2\right]\\ \end{align}[/math]
- [math]\begin{align} \operatorname{Si}(z) &= z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)(2n+1)!}z^{2n}=z\cdot{_1F_2}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{3}{2},\frac{3}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\\ \operatorname{Ci}(z) &= \gamma+\log{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)(2n)!}z^{2n}=\gamma+\log{z}-\frac{z^2}{4}\cdot{_2F_3}\left[\begin{matrix}1,1\\2,2,\frac{3}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\\ \operatorname{Ei}(z) &= \gamma+\log{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{nn!}z^{n}=\gamma+\log{z}+z\cdot{_2F_2}\left[\begin{matrix}1,1\\2,2\end{matrix};z\right]\\ \end{align}[/math]
オイラー積分表示
ガウスの超幾何関数はオイラー積分で表される。
- [math]F(a,b,c;z)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-tz)^{-b}dt\qquad(0\lt \real{a}\lt \real{c},|z|\lt 1)[/math]
これは
- [math]\begin{align}F(a,b,c;z) &=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\cdot\frac{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}{\Gamma(c)}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n\;n!}z^n\\ &=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\Gamma(a+n)\Gamma(c-a)(b)_n}{\Gamma(c+n)\;n!}z^n\\ &=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\sum_{n=0}^{\infty}\Beta(a+n,c-a)\frac{(b)_n}{n!}z^n\\ &=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\int_{0}^{1}t^{a+n-1}(1-t)^{c-a-1}dt\right)\frac{(b)_n}{n!}z^n\\ &=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(b)_n}{n!}(tz)^n\right)dt\\ &=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-tz)^{-b}dt\\ \end{align}[/math]
として導かれる。
超幾何定理
ガウスの超幾何関数のオイラー積分表示に[math]z=1[/math]を代入するとガウスの超幾何定理を得る[2]。
- [math]\begin{align}F(a,b,c;1) &=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{\infty}t^{a-1}(1-t)^{c-a-b-1}dt\\ &=\frac{\Gamma(c)\Beta(a,c-a-b)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\\ &=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\qquad(\real{a}+\real{b}\lt \real{c},c\not\in\mathbb{Z}\setminus\mathbb{N})\\ \end{align}[/math]
となる。更に[math]a=-n[/math]を代入するとヴァンデルモンドの恒等式を得る[3]。
- [math]F(-n,b,c;1)=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-b+n)}{\Gamma(c+n)\Gamma(c-b)}=\frac{(c-b)_n}{(c)_n}[/math]
脚注
- ↑ Weisstein, Eric W. “Hypergeometric Series”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。
- ↑ Weisstein, Eric W. “Gauss's Hypergeometric Theorem”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。
- ↑ Weisstein, Eric W. “Chu-Vandermonde Identity”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。
参考文献
- 西本敏彦 『超幾何・合流型超幾何微分方程式』 共立出版、1998年11月。ISBN 4-320-01593-2。