ハイネの和公式

ハイネの和公式(Heine's summation formula)はガウスの超幾何定理のq-類似である。

[math]_2\phi_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};q,\frac{c}{ab}\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n(b;q)_n}{(c;q)_n(q;q)_n}\left(\frac{c}{ab}\right)^n=\frac{\left(\frac{c}{a};q\right)_\infty\left(\frac{c}{b};q\right)_\infty}{\left(c;q\right)_\infty\left(\frac{c}{ab};q\right)_\infty}[/math]

ハイネの変換式(Heine's transformation)はq超幾何級数に関わる恒等式である。

[math]_2\phi_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};q,z\right]=\frac{(b;q)_\infty(az;q)_\infty}{(c;q)_\infty(z;q)_\infty}{_2\phi_1}\left[\begin{matrix}\frac{c}{b},z\\az\end{matrix};q,b\right][/math]

但し、[math](a;q)_n[/math]はqポッホハマー記号である。

証明

ハイネの変換式はq二項定理から導かれる。

[math]\begin{align}_2\phi_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};q,z\right] &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n(b;q)_n}{(q;q)_n(c;q)_n}z^n\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n(b;q)_\infty(cq^n;q)_\infty}{(q;q)_n(c;q)_\infty(bq^n;q)_\infty}z^n\\ &=\frac{(b;q)_\infty}{(c;q)_\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}\left(\frac{(cq^n;q)_\infty}{(bq^n;q)_\infty}\right)z^n\\ &=\frac{(b;q)_\infty}{(c;q)_\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}\left(\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{b};q)_m}{(q;q)_m}(bq^n)^m\right)z^n\\ &=\frac{(b;q)_\infty}{(c;q)_\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{b};q)_m}{(q;q)_m}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}(zq^m)^n\right)b^m\\ &=\frac{(b;q)_\infty}{(c;q)_\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{b};q)_m}{(q;q)_m}\left(\frac{(azq^m;q)_\infty}{(zq^m;q)_\infty}\right)b^n\\ &=\frac{(b;q)_\infty}{(c;q)_\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{b};q)_m(z;q)_m(az;q)_\infty}{(q;q)_m(az;q)_m(z;q)_\infty}\\ &=\frac{(b;q)_\infty(az;q)_\infty}{(c;q)_\infty(z;q)_\infty}{_2\phi_1}\left[\begin{matrix}\frac{c}{b},z\\az\end{matrix};q,b\right]\\ \end{align}[/math]

ハイネの和公式はハイネの変換式に[math]z=\tfrac{c}{ab}[/math]を代入することにより得られる。

[math]\begin{align}_2\phi_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};q,\frac{c}{ab}\right] &=\frac{(b;q)_\infty(\frac{c}{b};q)_\infty}{(c;q)_\infty(\frac{c}{ab};q)_\infty}{_2\phi_1}\left[\begin{matrix}\frac{c}{b},\frac{c}{ab}\\\frac{c}{b}\end{matrix};q,b\right]\\ &=\frac{(b;q)_\infty(\frac{c}{b};q)_\infty}{(c;q)_\infty(\frac{c}{ab};q)_\infty}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{b};q)_n(\frac{c}{ab};q)_n}{(q;q)_n(\frac{c}{b};q)_n}b^n\right)\\ &=\frac{(b;q)_\infty(\frac{c}{b};q)_\infty}{(c;q)_\infty(\frac{c}{ab};q)_\infty}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{ab};q)_n}{(q;q)_n}b^n\right)\\ &=\frac{(b;q)_\infty(\frac{c}{b};q)_\infty}{(c;q)_\infty(\frac{c}{ab};q)_\infty}\left(\frac{(\frac{c}{a};q)_\infty}{(b;q)_\infty}\right)\\ &=\frac{(\frac{c}{a};q)_\infty(\frac{c}{b};q)_\infty}{(c;q)_\infty(\frac{c}{ab};q)_\infty}\\ \end{align}[/math]