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タクシー数

n 番目のタクシー数(タクシーすう、taxicab number、Ta(n)もしくはTaxicab(n)と表記される)とは、2つの立方数の和として n 通りに表される最小の正の整数と定義される。1954年ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディとエドワード・メートランド・ライトが全ての正の整数 n に対し、Ta(n)が存在することを示した。その証明を利用すれば「2つの立方数の和として n 通りに表される正の整数」を見つけることはできる。ただしそれが最小の数であるかは保証されていないため、Ta(n)であるとは限らない。

なお、ここでの平方数は正の整数のみを考える。負の整数も含めるときは、キャブタクシー数と呼ばれる。

概要

与えられた正の整数 N に対し、不定方程式

[math]x^3+y^3=N[/math]

の整数解 yx > 0 の個数は明らかに有限個である(0 < y3 < N であるため)。これを s(N) とおく。Ta(n) は s(N) ≥ n となる最小の N である。

任意の n に対して s(N) ≥ n となる整数 N が存在することが知られており、したがって Ta(n) は存在する。実際 m を正の整数とすると

[math]x^3+y^3=m[/math]

楕円曲線なので、階数が正ならば無限個の有理点を持つ。さらに、このとき有理点の全体は実数点の中で稠密となる。よって、その中には無限個の正の有理点が存在する。それらから任意の個数の有理点 [math](x_i/d_i, y_i/d_i) (i=1, 2, \ldots, k)[/math] を選んで分母を払うことにより

[math](x_iD_i)^3+(y_iD_i)^3=md_1^3d_2^3\cdots d_k^3, D_i=(d_1d_2\cdots d_k)/d_i[/math]

が成り立つ。 [math]N=md_1^3d_2^3\cdots d_k^3[/math] ととれば [math]s(N)\geq k[/math] が成り立つ。m = 7, 9 などに対して上記の曲線の階数は正なので、ここから s(N) がいくらでも大きなものを得ることができる。よって任意の正の整数に対して Ta(n) は確かに存在する。

一般に F が3次形式で

[math]F(x, y)=m_0[/math]

が階数 r の楕円曲線を与えているとき、

[math]F(x, y)=m, m=m_0 d^3[/math]

の解の個数が > c(log m)r/(r+2) となる m が無数に存在する(c> 0 は Fm0 のみに依存し d には依存しない)。

[math]x^3+y^3=657[/math]

は階数3を持つことが知られている(実際 (17/2, -7/2), (163/19, 56/19), (3439/223, -3220/223) が生成元となる)。よって

[math]s(N)\gt c\log^{3/5} N[/math]

となる N が無数に存在する[1]。したがって

[math]\text{Ta}(n)\lt \exp (cn^{5/3})[/math]

が無数の n に対して成り立つ。

既知のタクシー数

現在までに以下の6つのタクシー数が知られている(オンライン整数列大辞典の数列 A011541参照)。

[math] \begin{align} \operatorname{Ta}(1) = 2 & = 1^3 + 1^3 \end{align} [/math]
[math] \begin{align} \operatorname{Ta}(2) = 1729 & = 1^3 + 12^3 \\ & = 9^3 + 10^3 \end{align} [/math]
[math] \begin{align} \operatorname{Ta}(3) = 87539319 & = 167^3 + 436^3 \\ & = 228^3 + 423^3 \\ & = 255^3 + 414^3 \end{align}[/math]
[math] \begin{align} \operatorname{Ta}(4) = 6963472309248 & = 2421^3 + 19083^3 \\ & = 5436^3 + 18948^3 \\ & = 10200^3 + 18072^3 \\ & = 13322^3 + 16630^3 \end{align} [/math]
[math] \begin{align} \operatorname{Ta}(5) = 48988659276962496 & = 38787^3 + 365757^3 \\ & = 107839^3 + 362753^3 \\ & = 205292^3 + 342952^3 \\ & = 221424^3 + 336588^3 \\ & = 231518^3 + 331954^3 \end{align} [/math]
[math] \begin{align} \operatorname{Ta}(6) = 24153319581254312065344 & = 582162^3 + 28906206^3 \\ & = 3064173^3 + 28894803^3 \\ & = 8519281^3 + 28657487^3 \\ & = 16218068^3 + 27093208^3 \\ & = 17492496^3 + 26590452^3 \\ & = 18289922^3 + 26224366^3 \end{align} [/math]

タクシー数の上限

以下の数字は7通り~12通りの2つの立方数の和で表せる数である。これらがタクシー数そのものである可能性はあるが、証明はされていない。つまり、Ta(7)からTa(12)の上限となる。

[math] \begin{align} \operatorname{Ta}(7) \le 24885189317885898975235988544 & = 2648660966^3 + 1847282122^3 \\ & = 2685635652^3 + 1766742096^3 \\ & = 2736414008^3 + 1638024868^3 \\ & = 2894406187^3 + 860447381^3 \\ & = 2915734948^3 + 459531128^3 \\ & = 2918375103^3 + 309481473^3 \\ & = 2919526806^3 + 58798362^3 \end{align} [/math]
[math] \begin{align} \operatorname{Ta}(8) \le 50974398750539071400590819921724352 & = 299512063576^3 + 288873662876^3 \\ & = 336379942682^3 + 234604829494^3 \\ & = 341075727804^3 + 224376246192^3 \\ & = 347524579016^3 + 208029158236^3 \\ & = 367589585749^3 + 109276817387^3 \\ & = 370298338396^3 + 58360453256^3 \\ & = 370633638081^3 + 39304147071^3 \\ & = 370779904362^3 + 7467391974^3 \end{align} [/math]
[math] \begin{align} \operatorname{Ta}(9) \le 136897813798023990395783317207361432493888 & = 41632176837064^3 + 40153439139764^3 \\ & = 46756812032798^3 + 32610071299666^3 \\ & = 47409526164756^3 + 31188298220688^3 \\ & = 48305916483224^3 + 28916052994804^3 \\ & = 51094952419111^3 + 15189477616793^3 \\ & = 51471469037044^3 + 8112103002584^3 \\ & = 51518075693259^3 + 5463276442869^3 \\ & = 51530042142656^3 + 4076877805588^3 \\ & = 51538406706318^3 + 1037967484386^3 \end{align} [/math]
[math] \begin{align} \operatorname{Ta}(10) &\le 7335345315241855602572782233444632535674275447104 \\ & = 15695330667573128^3 + 15137846555691028^3 \\ & = 17627318136364846^3 + 12293996879974082^3 \\ & = 17873391364113012^3 + 11757988429199376^3 \\ & = 18211330514175448^3 + 10901351979041108^3 \\ & = 19262797062004847^3 + 5726433061530961^3 \\ & = 19404743826965588^3 + 3058262831974168^3 \\ & = 19422314536358643^3 + 2059655218961613^3 \\ & = 19426825887781312^3 + 1536982932706676^3 \\ & = 19429379778270560^3 + 904069333568884^3 \\ & = 19429979328281886^3 + 391313741613522^3 \end{align} [/math]
[math] \begin{align} \operatorname{Ta}(11) &\le 2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632 \\ & = 11410505395325664056^3 + 11005214445987377356^3 \\ & = 12815060285137243042^3 + 8937735731741157614^3 \\ & = 12993955521710159724^3 + 8548057588027946352^3 \\ & = 13239637283805550696^3 + 7925282888762885516^3 \\ & = 13600192974314732786^3 + 6716379921779399326^3 \\ & = 14004053464077523769^3 + 4163116835733008647^3 \\ & = 14107248762203982476^3 + 2223357078845220136^3 \\ & = 14120022667932733461^3 + 1497369344185092651^3 \\ & = 14123302420417013824^3 + 1117386592077753452^3 \\ & = 14125159098802697120^3 + 657258405504578668^3 \\ & = 14125594971660931122^3 + 284485090153030494^3 \end{align} [/math]
[math] \begin{align} \operatorname{Ta}(12) &\le 73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152 \\ & = 33900611529512547910376^3 + 32696492119028498124676^3 \\ & = 38073544107142749077782^3 + 26554012859002979271194^3 \\ & = 38605041855000884540004^3 + 25396279094031028611792^3 \\ & = 39334962370186291117816^3 + 23546015462514532868036^3 \\ & = 40406173326689071107206^3 + 19954364747606595397546^3 \\ & = 41606042841774323117699^3 + 12368620118962768690237^3 \\ & = 41912636072508031936196^3 + 6605593881249149024056^3 \\ & = 41950587346428151112631^3 + 4448684321573910266121^3 \\ & = 41960331491058948071104^3 + 3319755565063005505892^3 \\ & = 41965847682542813143520^3 + 1952714722754103222628^3 \\ & = 41965889731136229476526^3 + 1933097542618122241026^3 \\ & = 41967142660804626363462^3 + 845205202844653597674^3 \end{align} [/math]

発見の歴史

ハーディ・ラマヌジャン数として知られるTa(2)は1657年バーナード・フラン・ベッシーEnglish版によって他のいくつかの2つの立方数の和で2通りに表せる数とともに見出された[2]レオンハルト・オイラー

[math]X^3+Y^3=Z^3+W^3[/math]

の有理数解の一般解を与えており、その後アドルフ・フルヴィッツはそれを単純化した[3]

[math]X=t(1-(a-3b)(a^2+3b^2)), Y=t((a+3b)(a^2+3b^2)-1), Z=t((a+3b)-(a^2+3b^2)^2), W=t((a^2+3b^2)^2-(a-3b)).[/math]

ただしこの公式から、すべての整数解を与える公式が導かれるわけではない。t, a, b が整数ならばこの公式は整数解を与えるが、それがすべての整数解を与えるわけではないからである。たとえば Ta(2) は (a, b, t) = (10/19, −7/19, −361/42) に対応しており t, a, b が整数であるものからは与えられない(もちろん t, a, b をうまく与えることでどの整数解も得られるが、整数解に対応する t, a, b がどのようなものかは明らかではない)。またオイラーは

[math](9t^4)^3+(9t^3+1)^3=(9t^4+3t)^3+1[/math]

を発見している(t = 1 とおくとタクシー数を得る)。

Ta(2) は後に数学者ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディシュリニヴァーサ・ラマヌジャンのエピソードによって不滅のものとなった。ハーディによれば[1]

私は彼をパットニーの療養所に見舞ったことを覚えている。私はナンバーが1729のタクシーに乗り、その数は無味乾燥なもののように思え、それが不吉なことの前兆でないことを願っていた。しかし彼は「そんなことはありません、とても興味深い数字です。それは2通りの2つの立方数の和で表せる最小の数です」と返した。

ラマヌジャンは1913年に無限個の整数解を与える公式

[math](6A^2-4AB+4B^2)^3+(-3A^2-5AB+5B^2)^3=(4A^2-4AB+6B^2)^3+(5A^2-5AB-3B^2)^3[/math]

を発見し、その後オイラーの一般有理解と等価な一般有理解の公式を得ている。またラマヌジャンの遺稿には

[math]X^3+Y^3=Z^3\pm 1[/math]

の無限個の整数解を得る(オイラーとは別の)方法が述べられている[4]

次のタクシー数は計算機を使って発見された。ジョン・リーチEnglish版1957年にTa(3)を発見した。1991年にはE・ローゼンスティール、J・A・ダーディス、C・R・ローゼンスティールがTa(4)を発見。J・A・ダーディスは1994年にTa(5)を発見し、1999年にデービッド・W・ウィルソンによって確認された[5][6]。Ta(6)はウーヴェ・ホラーバッハによって2008年3月9日にメーリングリストNMBRTHRYに発見が報告されたが[7]、これは2003年に Claude et al. によって99%の確率でTa(6)であろうとされていたものだった[8]2006年にはクリスチャン・ボワイエによってTa(7)からTa(12)までの上限が与えられた[9]

より制限をかけた形でのタクシー問題は、タクシー数がcubefreeである、つまり13以外の立方数で割り切れない場合である。 cubefreeなタクシー数 TT = x3+y3と書かれるとき、全ての組 (x, y) に対して x, y は互いに素である。先述したタクシー数の中では、Ta(1)とTa(2)だけがcubefreeなタクシー数である。3通りに表される最小のcubefreeなタクシー数は、1981年に大学院生だったポール・ボイタによって発見された(未発表)。これは以下の通りである。

15170835645
= 5173 + 24683
= 7093 + 24563
= 17333 + 21523.

4通りに表される最小のcubefreeなタクシー数は、2003年にダンカン・ムーアとスチュアート・ギャスコインによって独立に発見された。以下の通り。

1801049058342701083
= 922273 + 12165003
= 1366353 + 12161023
= 3419953 + 12076023
= 6002593 + 11658843.

オンライン整数列大辞典の数列 A080642参照)

上記の通り制限のない場合には s(N) はいくらでも大きくできるが、N が立方因子をもたないとき、

[math]x^3+y^3=N[/math]

の解の個数をどこまで大きくできるかは未だわかっていない。この方程式のあらわす楕円曲線の階数を r(N) とすると

[math]s(N)\lt c^{r(N)}[/math]

となる絶対定数 c が存在する。 N が大きいときは

[math]s(N)\lt 9(15^{r(N)}+1)[/math]

が成り立つ[10]

脚注

参考文献

  • [1938] (2008) An Introduction to the Theory of Numbers, Revised by D.R. Heath-Brown and J.H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles., 6th, Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. 
  • (1919) History of the theory of numbers, vol. II, Diophantine Analysis. Carnegie Institute of Washington. 
  • J. Leech, Some Solutions of Diophantine Equations, Proc. Cambridge Phil. Soc. 53, 778-780, 1957.
  • Ono, Ken; Trebat-Leder, Sarah (2016). “The 1729 K3 surface”. Res. Number Theory 2: No. 26. doi:10.1007/s40993-016-0058-2. 
  • Ono, Ken; Trebat-Leder, Sarah (2017). “Erratum to: The 1729 K3 surface”. Res. Number Theory 3: No. 12. doi:10.1007/s40993-017-0076-8. 
  • E. Rosenstiel, J. A. Dardis and C. R. Rosenstiel, The four least solutions in distinct positive integers of the Diophantine equation s = x3 + y3 = z3 + w3 = u3 + v3 = m3 + n3, Bull. Inst. Math. Appl., 27(1991) 155-157; MR 92i:11134, online. 「Personal Computer World」1989年11月号も参照せよ。
  • David W. Wilson, The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496, Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), online. (ウィルソンはこれを著した際、1994年にJ・A・ダーディスがTa(5)を発見していたことを認識していなかった)
  • D. J. Bernstein, Enumerating solutions to p(a) + q(b) = r(c) + s(d), Mathematics of Computation 70, 233 (2000), 389–394.
  • C. S. Calude, E. Calude and M. J. Dinneen: What is the value of Taxicab(6)?, Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), p. 1196–1203
  • Silverman, Joseph H. (1983). “Integer points on curves of genus 1”. J. London Math. Soc. (2) 28: 1-7. doi:10.1112/jlms/s2-28.1.1. MR 0703458. 
  • Silverman, Joseph H. (1982). “Integer points and the rank of Thue elliptic curves”. Invent. Math. 66: 395-404. doi:10.1007/BF01389220. MR 0662599. 

関連項目

外部リンク