一般化タクシー数

一般化タクシー数（いっぱんかタクシーすう、generalized taxicab number）Taxicab(k, j, n) とは、j 個の異なる k 乗数の和として n 通りに表される最小の正の整数と定義される。k = 3かつj = 2である場合は n 番目のタクシー数 Ta(n)となる。例えば

[math]\mathrm{Taxicab}(1,2,2)=4=1+3=2+2, \mathrm{Taxicab}(1,2,3)=6=1+5=2+4=3+3,[/math]

[math]\mathrm{Taxicab}(2,2,2)=50=1^2+7^2=5^2+5^2, \mathrm{Taxicab}(2,2,3)=325=1^2+18^2=6^2+17^2=10^2+15^2,[/math]

[math]\mathrm{Taxicab}(3,2,2)=\mathrm{Ta}(2)=1729=1^3+12^3=9^3+10^3[/math]

である。最後の例がシュリニヴァーサ・ラマヌジャンのタクシー数である。レオンハルト・オイラーによって以下のことは示されている。

[math]\mathrm{Taxicab}(4, 2, 2) = 635318657 = 59^4 + 158^4 = 133^4 + 134^4[/math]

しかし任意の整数 k ≥ 5 に対して、Taxicab(k, 2, 2) は知られていない。すなわち、2個の k (≥ 5) 乗数の和として2通りに表される正の整数は今のところ知られていない。2つの4乗数の和として3通りにあらわされる数が存在するかどうかも知られていない。Zajtaは4乗数の差として3通りの方法であらわせる例

[math]25900232113758000049920=401168^4-17228^4=415137^4-248289^4=421296^4-273588^4[/math]

を発見した{{#invoke:Footnotes | harvard_citation }}。

参考文献

• Walter Schneider: Taxicab numbers
• Zajta, Aurel J. (1983), “Solutions of the Diophantine equation [math]A^4+B^4=C^4+D^4[/math]”, Math. Comp., doi:10.1090/S0025-5718-1983-0717709-0, MR 0717709 

関連項目

• タクシー数
• キャブタクシー数