ブロカールの問題

ブロカールの問題 (英: Brocard's problem) とは、

[math]n!+1 = m^2[/math]

を満たす整数の組 (n, m) がいくつ存在するか、という数学の問題である。ただし、 n! は階乗を表す。アンリ・ブロカールが1876年・1885年に自身の論文で提示した。1913年にはシュリニヴァーサ・ラマヌジャンが同じ問題を独立に提示している。

ブラウン数

上式を満たす (n, m) の組はブラウン数 (英: Brown numbers) と呼ばれる。ブラウン数の組は

(4,5), (5,11), (7,71)（小さい方の数はオンライン整数列大辞典の数列 A146968、大きい方の数はオンライン整数列大辞典の数列 A216071を参照）

の3つしか知られていない。ポール・エルデシュは、これ以外の解は存在しないと予想した。Overholt (1993) は、ABC予想が真だとすれば解の個数が有限であることを示した。Berndt & Galway (2000) は10⁹までの n について計算を行い、その範囲で他の解がないことを確かめた。

一般化

Dabrowski (1996)はOverholtの結果を一般化し、ABC予想が正しければ、任意の自然数 A に対し

[math]n!+A = k^2[/math]

を満たす解は有限組しか存在しないこと、A が平方数でないときはABC予想によらず解は有限個しか存在しないこと（実際 A が p を法として平方剰余ではないような最小の素数 p をとると [math]k^2-A[/math] は p で決して割り切れないので n < p でなければならない）を示した。Luca (2002)はこれをさらに一般化し、 (ABC予想が正しければ) 2次以上で整数係数を持つ任意の多項式P(x)に対して

[math]n! = P(x)[/math]

を満たす解は有限組しか存在しないことを示した。

指数が2より大きい場合、および [math]x^2+y^2=n![/math] の形の方程式については Erdős & Obláth (1937) が既に

[math]x^m+y^m = n! (\gcd(x, y)=1, m\geq 2)[/math]

は 1+1=2! 以外の解を持たないこと、および

[math]x^m-y^m = n! (x\gt y, \gcd(x, y)=1, m\geq 3)[/math]

は m が 4 以外のときには解を持たず m =4 の場合にも有限個の解しか持たないことを示している。また

[math]m!\pm n!=x^k (m\gt n\gt 0, k\geq 2)[/math]

の解は有限個であることも示している。その後Pollack & Shapiro (1973) が

[math]x^4-1 = n! [/math]

は解を持たないことを示している。

参考文献

• Berndt, Bruce C.; Galway, William F. (2000), “The Brocard–Ramanujan diophantine equation n! + 1 = m²”, The Ramanujan Journal 4: 41–42, doi:10.1023/A:1009873805276, http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/galway.pdf .
• Brocard, H. (1876), “Question 166”, Nouv. Corres. Math. 2: 287 .
• Brocard, H. (1885), “Question 1532”, Nouv. Ann. Math. 4: 391 .
• Dabrowski, A. (1996), “On the Diophantine Equation x! + A = y²”, Nieuw Arch. Wisk. 14: 321–324 .
• Erdős, Paul; Obláth, Richard (1937), “Über diophantische Gleichungen der Form [math]n! = x^p \pm y^p[/math] und [math]n! \pm m! = x^p[/math]”, Acta Litt. Sci. Szeged 8: 241-255, https://www.renyi.hu/~p_erdos/1937-09.pdf .
• Guy, R. K. (1994), “D25: Equations Involving Factorial”, Unsolved Problems in Number Theory (2nd ed.), New York: Springer-Verlag, pp. 193–194, ISBN 0-387-90593-6 .
• Luca, Florian (2002), “The diophantine equation P(x) = n! and a result of M. Overholt”, Glasnik Matematički 37 (57): 269–273, http://web.math.hr/glasnik/37.2/37(2)-04.pdf .
• Overholt, Marius (1993), “The diophantine equation n! + 1 = m²”, Bull. London Math. Soc. 25 (2): 104, doi:10.1112/blms/25.2.104 .
• Pollack, Richard M.; Shapiro, Harold N. (1973), “The next to last case of a factorial diophantine equation”, Comm. Pure Appl. Math. 26: 313-325, http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/cpa.3160260303/abstract .

外部リンク

• Weisstein, Eric W. “Brocard's Problem”. MathWorld（英語）.
• Weisstein, Eric W. “Brown Numbers”. MathWorld（英語）.
• Copeland, Ed. “Brown Numbers”. Numberphile. Brady Haran. . 2014閲覧.