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極限

収束から転送)

極限(きょくげん、: limit

数列および関数について使われる。

(1) 数列の極限値 数列{an }が与えられたとする。いまある実数αがあって,n をどんどん大きくすれば,誤差|an -α|をいくらでも小さくできるとき,数列{an }はαに収束するといい,このαを数列{an }の極限値という。この条件は,どんなに小さい正の数εに対しても,n を十分に大きくとれば,mn である am が|am -α|<εを満足するようにできること,すなわち am mn)がαのε近傍に入ってしまうことを意味する。


(2) 関数の極限値 数列{an }は自然数 nn=1,2,…,p,…)の集合を定義域とする関数 yf(n) と考えられるから,数列の極限値の定義を拡張して,連続変換に関する一般の関数の極限値が定義される。関数を f(x) とする。いま x がかぎりなく一定値 a に近づくとき,f(x) がかぎりなく一定の値αに近づけば,αは,xa に近づくときの f(x) の極限値であるといわれ,記号を用いて f(x)α(xa) または

極限.gif

で表される。数列の場合にならって定義すれば次のとおりである。すなわち,正の数εをどんなに小さくとっても,それに対しての正の数δを適当にとれば,0<|xa|<δならば|f(x)α|<εとなるとき,f(x) は,xa においてαに収束するといい,このαを f(x) の極限値という。ここでは,xa にはならないという立場であるが,xa を入れる立場もある。

(3) 上記を一般化して,位相空間内の極限値,ネットに関するムーア・スミスの極限値,フィルターの極限値などが定義されている。



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