極限
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（収束から転送）
極限（きょくげん、英: limit）
(1) 数列の極限値 数列｛an ｝が与えられたとする。いまある実数αがあって，n をどんどん大きくすれば，誤差｜an －α｜をいくらでも小さくできるとき，数列｛an ｝はαに収束するといい，このαを数列｛an ｝の極限値という。この条件は，どんなに小さい正の数εに対しても，n を十分に大きくとれば，m≧n である am が｜am －α｜＜εを満足するようにできること，すなわち am （m≧n）がαのε近傍に入ってしまうことを意味する。
(2) 関数の極限値 数列｛an
｝は自然数 n（n＝1，2，…，p，…）の集合を定義域とする関数 y＝f(n) と考えられるから，数列の極限値の定義を拡張して，連続変換に関する一般の関数の極限値が定義される。関数を f(x) とする。いま x がかぎりなく一定値 a に近づくとき，f(x) がかぎりなく一定の値αに近づけば，αは，x が a に近づくときの f(x) の極限値であるといわれ，記号を用いて f(x)α(xa) または
で表される。数列の場合にならって定義すれば次のとおりである。すなわち，正の数εをどんなに小さくとっても，それに対しての正の数δを適当にとれば，0＜｜x－a｜＜δならば｜f(x)α｜＜εとなるとき，f(x) は，x＝a においてαに収束するといい，このαを f(x) の極限値という。ここでは，x＝a にはならないという立場であるが，x＝a を入れる立場もある。
(3) 上記を一般化して，位相空間内の極限値，ネットに関するムーア・スミスの極限値，フィルターの極限値などが定義されている。