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正多面体

正多面体(せいためんたい、regular polyhedron)、またはプラトンの立体(プラトンのりったい、Platonic solid)とは、すべての面が同一の正多角形で構成されてあり、かつすべての頂点において接する面の数が等しい凸多面体のこと。正多面体には正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体の五種類がある。

三次元空間の中に一つの頂点を取り、その周りに取ることが可能な正多角形に関する制限から、正多面体が先に示した五種類のみであることが証明できる。このことは、オイラーの多面体公式からも証明できる。しかし、条件を緩めることによって、正多面体の拡張を考えることができる(参照:星型正多面体ねじれ正多面体正平面充填形)。正多面体の構成面を正 p 角形、頂点に集まる面の数を q として {p, q} のように表すことができる。これをシュレーフリ記号という。シュレーフリ記号は半正多面体(別名:アルキメデスの立体)にも拡張することができる。

一覧

正多面体の表面積体積は一辺を a とすれば、概略下記となる。

名前と図 構成面 頂点 シュレーフリ記号 表面積とその概数 体積とその概数
正四面体
ファイル:120px-Tetrahedron-slowturn.gif
正三角形 6 4 {3,3} [math]\sqrt{3}a^2[/math]
[math]\simeq 1.732a^2[/math]
[math]{\sqrt{2}\over12}a^3[/math]
[math]\simeq 0.118a^3[/math]
正六面体
ファイル:120px-Hexahedron-slowturn.gif
正方形 12 8 {4,3} [math]6a^2\,[/math] [math]a^3\,[/math]
正八面体
ファイル:120px-Octahedron-slowturn.gif
正三角形 12 6 {3,4} [math]2\sqrt{3}a^2[/math]
[math]\simeq 3.464a^2[/math]
[math]{\sqrt{2}\over3}a^3[/math]
[math]\simeq 0.471a^3[/math]
正十二面体
ファイル:120px-Dodecahedron-slowturn.gif
正五角形 30 20 {5,3} [math]3\sqrt{25+10\sqrt5}a^2[/math]
[math]\simeq 20.65a^2[/math]
[math]{15+7\sqrt5\over4}a^3[/math]
[math]\simeq 7.663a^3[/math]
正二十面体
ファイル:120px-Icosahedron-slowturn.gif
正三角形 30 12 {3,5} [math]5\sqrt3a^2[/math]
[math]\simeq 8.660a^2[/math]
[math]{5\over12}(3+\sqrt5)a^3[/math]
[math]\simeq 2.182a^3[/math]

双対

正多面体は、適切に頂点を選ぶことで別の正多面体を作ることができる。 代表的なものは各面の中心を結ぶという操作で、

  • 正二十面体 ↔ 正十二面体
  • 正六面体 ↔ 正八面体
  • 正四面体 ↔ 正四面体

の様に作ることが出来る。これらの関係を双対という。このうち正四面体は正四面体自身になる(自己双対)。

ほかには、

  • 正六面体の1つおきの頂点 → 正四面体
  • 正十二面体の適当な頂点 → 正四面体、正六面体
  • 正四面体の各辺の中点 → 正八面体
  • 正八面体の各辺を黄金分割して結ぶ → 正二十面体

などがある。

この他、星型正多面体というものもある。

正多面体群

正多面体の対称性の群English版(正)多面体群という。すなわち、多面体群は各正多面体上の対称変換English版—その正多面体を保存する運動—全体の成す変換群である。

外部リンク

関連項目