半正多面体

半正多面体 (はんせいためんたい、semi-regular polyhedron) またはアルキメデスの立体 (Archimedean solid) とは、凸な一様多面体のうち、正多面体以外のものである。また、対称性が低い (Dihedral) 角柱・反角柱・ミラーの立体も除く。全部で13種類ある。

一様多面体の条件は、全ての面が正多角形で、頂点形状が合同（頂点に集まる正多角形の種類と順序が同じ）なことである。正多面体（別名：プラトンの立体）は除外するので、半正多面体の面は2種類以上の正多角形で構成される。

準正多面体 (quasi-regular polyhedron) とは、このうち辺の近傍が合同なもので、立方八面体と二十・十二面体が当てはまる。日本では、半正多面体のことを準正多面体ということがあるが、誤りである。

一覧

多面体	構成面	辺	頂点	頂点形状	双対	図
切頂四面体	正三角形 4枚 正六角形 4枚	18	12	3,6,6	三方四面体	120px
切頂六面体	正三角形 8枚 正八角形 6枚	36	24	3,8,8	三方八面体	120px
切頂八面体	正方形 6枚 正六角形 8枚	36	24	4,6,6	四方六面体	120px
切頂十二面体	正三角形 20枚 正十角形 12枚	90	60	3,10,10	三方二十面体	120px
切頂二十面体 （サッカーボール型）	正五角形 12枚 正六角形 20枚	90	60	5,6,6	五方十二面体	120px
立方八面体	正三角形 8枚 正方形 6枚	24	12	3,4,3,4	菱形十二面体	120px
二十・十二面体	正三角形 20枚 正五角形 12枚	60	30	3,5,3,5	菱形三十面体	120px
斜方立方八面体	正三角形 8枚 正方形 18枚	48	24	3,4,4,4	凧形二十四面体	120px
斜方二十・十二面体	正三角形 20枚 正方形 30枚 正五角形 12枚	120	60	3,4,5,4	凧形六十面体	120px
斜方切頂立方八面体	正方形 12枚 正六角形 8枚 正八角形 6枚	72	48	4,6,8	六方八面体	120px
斜方切頂二十・十二面体	正方形 30枚 正六角形 20枚 正十角形 12枚	180	120	4,6,10	六方二十面体	120px
変形立方体 （鏡像あり）	正三角形 32枚 正方形 6枚	60	24	3,3,3,3,4	五角二十四面体	120px 120px
変形十二面体 （鏡像あり）	正三角形 80枚 正五角形 12枚	150	60	3,3,3,3,5	五角六十面体	120px 120px

半正多面体でない多面体

「面が正多角形で頂点形状が合同」という条件を満たすが、対称性が低いために半正多面体に含められない多面体に、ミラーの立体・アルキメデスの角柱・アルキメデスの反角柱がある。

ミラーの立体は、斜方立方八面体の上半分を45度ひねった多面体である。ただし、ミラーの立体を半正多面体に含め、キラルな変形立方体と変形十二面体の鏡像を区別し、半正多面体を16種類とする場合もある。

アルキメデスの正角柱とアルキメデスの反角柱を含めないのは、種類が無限にあることも理由である。アルキメデスの立体と言った場合は含むこともある。

正多面体からの作製

半正多面体を正多面体から作るときの方法は5種類ある。それは以下のとおりである。

切頂 n 面体

正 n 面体の頂点を切ったもの。切隅 n 面体、切頭 n 面体とも。拡張シュレーフリ記号は t{p, q}

n・m 面体（準正多面体）

正 n または m 面体の頂点を各辺の中点まで切ったもの。拡張シュレーフリ記号は [math]\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}[/math]

斜方 n・m 面体

正 n または m 面体の各辺と頂点を削ったもの。小斜方 n・m 面体、菱形 n・m 面体とも。拡張シュレーフリ記号は [math]r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}[/math]

斜方切頂 n・m 面体

n・m 面体の頂点を切ったもの。切頂 n・m 面体、大斜方 n・m 面体とも。拡張シュレーフリ記号は [math]t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}[/math]

変形 n 面体

正 n 面体の各面をひねったもの。鏡像がある。捩れ n 面体とも。拡張シュレーフリ記号は [math]s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}[/math]

双対

半正多面体の双対は、アルキメデス双対と呼ばれる。1種類の正多角形でない面からできており、頂点に集まる面の頂点角は等しい。