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正四面体

正四面体(せいしめんたい、せいよんめんたい、regular tetrahedron)は、4枚の合同正三角形を面とする四面体である。

最も頂点・面の数が少ない正多面体であり、最も頂点・辺・面の数が少ないデルタ多面体であり、アルキメデスの正三角錐である。また、3次元正単体である。

なお一般に、n 面体のトポロジーは一定しないが、四面体だけは1種類のトポロジーしかない。つまり、四面体は全て、正四面体と同相であり、正四面体の辺を伸ばしたり縮めたりしたものである。

性質

ファイル:TetraederCrossSection.png
正四面体のペトリー多角形

対称性

対称性は、

  • 中心と頂点を通る直線について3回対称
  • 中心と辺の中点を通る直線について4回反対称、したがって線対称(2回対称)
  • 中心と辺を通る面について面対称

などである。

計量

辺の長さ[math]a\,[/math] とする。

面の面積 [math] A = {\sqrt{3}\over4} a^2 [/math] [math] \approx 0.433012702 a^2 [/math]
表面積 [math] S = 4 A = \sqrt 3 a^2 [/math] [math] \approx 1.732050808 a^2 [/math]
高さ [math] h = \sqrt \frac 2 3 a [/math] [math] \approx 0.816496581 a [/math]
体積 [math] V = \frac 1 3 A h ={\sqrt{2}\over12}a^3 [/math] [math] \approx 0.117851130 a^3 [/math]
辺と面のなす角 [math] \tan ^{-1} \sqrt 2 [/math] [math] \approx 54.735610 ^\circ [/math]
二面角 [math] \cos ^{-1} \frac 1 3 = \tan ^{-1} \sqrt 8 [/math] [math] \approx 70.528779 ^\circ [/math]
中心と頂点を結ぶ直線のなす角 [math] \frac \pi 2 + \sin ^{-1} \frac 1 3 [/math] [math] \approx 109.471221 ^\circ [/math]
頂点の立体角 [math] 3 \cos ^{-1} \frac 1 3 - \pi [/math] [math] \approx 0.551285598 \ \mathrm{ sr } [/math]
外接球(頂点を通る球)の半径 [math] R = \sqrt \frac 3 8 a [/math] [math] \approx 0.612372436 a [/math]
内接球(面と接する球)の半径 [math] r = {1\over3} R = {1\over\sqrt{24}} a [/math] [math] \approx 0.204124145 a [/math]
中接球(辺と接する球)の半径 [math] r _ \mathrm M = \sqrt { r R } = {1\over\sqrt{8}} a [/math] [math] \approx 0.353553391 a[/math]
傍接球の半径 [math]r _ \mathrm E = {1\over\sqrt{6}} a [/math] [math] \approx 0.408248290 a [/math]
頂点から傍心(傍接球の中心)までの距離 [math] \sqrt \frac 3 2 a [/math] [math] \approx 1.224744871 a [/math]

正四面体から作られる図形

外部リンク