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正二十面体

正二十面体(せいにじゅうめんたい、regular icosahedron)は立体の名称の1つ。空間正三角形20枚で囲んだ凸多面体3次元空間で最大の面数を持つ正多面体である。

性質

計量

面の面積 [math] A={1\over4}\sqrt3a^2[/math]
表面積 [math] S=20A=5\sqrt3a^2[/math]
体積 [math] V=\frac{1}{3}Sr={15+5\sqrt{5}\over12}a^3[/math]
最長対角線の長さ [math] d={\sqrt{10 +2\sqrt{5}}\over2}a[/math]
外接球半径 [math] R=\frac{d}{2}={\sqrt{10 +2\sqrt{5}}\over4}a[/math]
内接球半径 [math] r={3\sqrt{3}+\sqrt{15}\over12}a[/math]

対称性

ファイル:Sphere symmetry group ih.png
完全正二十面体的対象性English版は(この球面での青緑の大圏コースとして見る)π/5、π/3、π/2の角度で合する15の鏡映平面を有する。それは球面を120の基本領域English版(黄)に分かつ。6つの5分割折畳軸(英:6 5-fold axes(以下同じ)、青)、10の3分割折畳軸(赤)、15の2分割折畳軸(赤紫)、が有る。正二十面体の頂点は5分割折畳軸上の点に存在する。

正二十面体の回転対称群は5文字の交代群同型である。この非可換単純群は5文字の対称群の唯一の非自明な正規部分群である。一般の五次方程式ガロア群は5文字の対称群に同型であり、そしてこの正規部分群が単純で非可換なので、一般の五次方程式は根基での解を有しない。アーベル‐ルフィニの定理の証明はこの単純な事実を用いる。そしてフェリックス・クラインは一般の五次方程式の解析的解法を導く正二十面体的対称性English版の理論を利用できる本を書いた。{{#invoke:Footnotes | harvard_citation }}詳しい歴史ならびに関係する7文字と11文字の対称性については正二十面体的対称性#関連する幾何学的性質English版を見よ。

(鏡映を含めた)正二十面体の完全な対称群は完全正二十面体群English版として知られる。そしてこれは回転対称群と正二十面体の中心を通した鏡映によって生成される、サイズ2の群[math]C_2[/math]の直積に同型である。

脚注

参考文献

関連項目

外部リンク