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テイラー展開

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ファイル:Sintay SVG.svg
テイラー多項式の次数が上がるにつれて、正しい関数に近づく。この図は sin x と、そのテイラー近似のうち、1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 次の多項式を示している。
ファイル:Exp series.gif
指数関数 ex (青) と、その 0 におけるテイラー級数の最初の n + 1 項の和 (赤)。

数学において、テイラー級数 (: Taylor series) は関数のある一点での導関数たちの値から計算される項の無限和として関数を表したものである。そのような級数を得ることをテイラー展開という。

テイラー級数の概念はスコットランドの数学者ジェームズ・グレゴリーにより定式化され、フォーマルにはイギリスの数学者ブルック・テイラーによって1715年に導入された。0 を中心としたテイラー級数は、マクローリン級数 (: Maclaurin series) とも呼ばれる。これはスコットランドの数学者コリン・マクローリンにちなんでおり、彼は18世紀にテイラー級数のこの特別な場合を積極的に活用した。

関数はそのテイラー級数の有限個の項を用いて近似することができる。テイラーの定理はそのような近似による誤差の定量的な評価を与える。テイラー級数の最初のいくつかの項として得られる多項式はテイラー多項式English版と呼ばれる。関数のテイラー級数は、その関数のテイラー多項式で次数を増やした極限が存在すればその極限である。関数はそのテイラー級数がすべての点で収束するときでさえもテイラー級数に等しいとは限らない。開区間(あるいは複素平面開円板)でテイラー級数に等しい関数はその区間上の解析関数と呼ばれる。

一変数関数のテイラー展開

a を含む開区間 IR 上で無限回微分可能な実数値関数 fC(I) が与えられたとき、べき級数

[math] \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^{n} [/math]

を関数 f の点 a まわりのテイラー級数という。ここで n!n階乗f(n)(a)x = a における fn微分係数である[注 1]。また、便宜的に (xa)0 は 1 であると定義する[注 2]。テイラー級数が収束し、元の関数 f に一致するとき、fテイラー展開可能であるという。テイラー展開がある大域的な領域の各点で可能な関数は、その領域において解析的 (analytic) である、またはその領域上の解析関数 (analytic function) であるという。

ここで一般には関数 f が無限回微分可能であってもそのテイラー級数が xa で収束するとは限らず[1]、たとえ収束しても一致するとは限らない[1]ことに注意が必要である。一致するかどうかは、テイラーの定理における剰余項 Rn が 0 に収束するかどうかによって判定できる;ここで剰余項 Rn は、ある c ∈ (a, x) が存在して、

[math]R_n (x) = {f^{(n)}(c) \over n!} (x - a)^n[/math]

と書ける。または積分を用いて、次のように表せる;

[math]R_n (x) =\frac{1}{(n-1)!}\int_a^x (x-t)^{n-1} f^{(n)}(t)\, dt.[/math]

また、この剰余項を評価することで関数の近似値を精度保証つきで数値的に求めることもできる(テイラーの定理#例を参照)。

特に a = 0 における以下の様な展開

[math] \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^{n} [/math]

マクローリン展開(マクローリンてんかい、: Maclaurin expansion; 名称は数学者コリン・マクローリンに由来する)と呼ぶ。

テイラー展開図であらわして、一次、二次、三次までをブロックで説明すると分かりやすい[2]

マクローリン級数の一覧

いくつかの重要な関数のテイラー展開を以下に示す。これらはすべて複素解析的な関数であり、複素変数であると考えても成り立つ。

多項式
多項式をマクローリン展開したものは元の多項式自身である。
指数関数
[math]e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad\mbox{ for all }x[/math]
自然対数
[math]\log(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}n x^n\quad\mbox{ for all } |x| \lt 1[/math]
[math]\log(1-x) = - \sum^{\infty}_{n=1} \frac{x^n}n\quad\text{ for } |x| \lt 1[/math]
幾何級数
[math]\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n\quad\mbox{for all } |x| \lt 1[/math]
[math]\frac{1}{(1-x)^2} = \sum^\infty_{n=1} nx^{n-1}\quad\text{ for }|x| \lt 1\![/math]
[math]\frac{x}{(1-x)^2} = \sum^\infty_{n=0} nx^n\quad\text{ for }|x| \lt 1\![/math]
[math]\frac{2}{(1-x)^3} = \sum^\infty_{n=2} (n-1)nx^{n-2}\quad\text{ for }|x| \lt 1\![/math]
[math]\frac{2x^2}{(1-x)^3} = \sum^\infty_{n=0} (n-1)nx^n\quad\text{ for }|x| \lt 1\![/math]
二項定理
[math](1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} \binom{\alpha}{n} x^n\quad\mbox{for all } |x| \lt 1 \mbox{ and any complex } \alpha[/math]
三角関数
[math]\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ for all } x[/math]
[math]\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ for all } x[/math]
[math]\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ for } |x| \lt \frac{\pi}{2}[/math]
[math]\csc x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{ (-1)^n (2-2^{2n}) B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ for } 0 \lt |x| \lt \pi[/math]
[math]\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ for } |x| \lt \frac{\pi}{2}[/math]
[math]\cot x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{ (-1)^n 2^{2n} B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ for } 0 \lt |x| \lt \pi[/math]
[math]\sin^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } |x| \lt 1[/math]
[math]\cos^{-1} x = {\pi\over 2}- \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } |x| \lt 1[/math]
[math]\tan^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } |x| \lt 1[/math]
双曲線関数
[math]\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ for all } x[/math]
[math]\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ for all } x[/math]
[math]\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ for } |x| \lt \frac{\pi}{2}[/math]
[math]\sinh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } |x| \lt 1[/math]
[math]\tanh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } |x| \lt 1[/math]
ランベルトのW関数
[math]W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad\mbox{ for } |x| \lt \frac{1}{e}[/math]

tan(x), csc(x), cot(x), tanh(x) の展開に現われる Bkベルヌーイ数である。 二項展開の [math]\textstyle \binom{\alpha}{n}[/math]二項係数である。sec(x) の展開に現われる Ekオイラー数である。

多変数関数のテイラー展開

テイラー展開は一変数関数のみならず、多変数関数にも適用できる。d 変数関数 f のテイラー展開は以下の式である。

[math]f(x_1,\dots,x_d) = \sum_{n_1=0}^\infty \sum_{n_2=0}^\infty \cdots \sum_{n_d = 0}^\infty \frac{(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}}{n_1!\cdots n_d!}\,\left(\frac{\partial^{n_1 + \cdots + n_d}f}{\partial x_1^{n_1}\cdots \partial x_d^{n_d}}\right)(a_1,\dots,a_d).\![/math]

多重指数記法を用いれば、d 変数関数 f (x) のテイラー展開は次式で表現される。

[math]f(\mathbf{x}) = \sum_{\alpha\in\mathbb{N}^d_0}^{}\frac{(\mathbf{x}-\mathbf{a})^{\alpha}}{\alpha !}\,({\mathrm{\partial}^{\alpha}}\,f)(\mathbf{a})[/math]

アインシュタインの縮約記法を用いれば、多変数関数 f (xμ) のテイラー展開は次式である。

[math]f(x^{\mu}) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{n!} \left[ (x^{\mu} - \alpha^{\mu}) \partial_{\mu} \right]^n f(\alpha^{\mu}) [/math]

上式の μ微分演算子であり、ベクトル解析の記法では に置き換えられる。一番後ろに f (αμ) があるが、これは f (xμ) に左の演算子を作用させてから f (xμ) の引数として αμ を与えることを表していることに注意する。

脚注

  1. f の 0 次導関数f 自身である。
  2. 0の0乗も参照。定義の衝突を避けるならば、単に n = 0 の項を明示的に書き、n = 0 を含めない形で和を取り直せばよい。

出典

  1. 1.0 1.1 ハイラー & ヴァンナー 2012, テンプレート:Google books quote.
  2. 物理数学の直感的方法, 長沼伸一郎,ブルーバックス,2011, 第二章p.32 http://pathfind.motion.ne.jp/

参考文献

関連項目

外部リンク

  • {{#invoke:citation/CS1|citation

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pl:Wzór Taylora#Szereg Taylora