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ベルヌーイ数

ベルヌーイ数 (ベルヌーイすう、: Bernoulli number)

自然数のべきの和を求める多項式 (ベルヌーイの多項式) の展開に伴って見出される有理数で,J.ベルヌーイ (1世) にちなんでこう呼ばれる。 x/(ex -1) をべき級数に展開し,x/(ex -1)=ΣB' n (xn /n!)=B'0B'1(x/1!)+B'2(x 2/2!)+… としたときの係数として現れ,B'0=1,B'1=-1/2,B'2=1/6,B'3=0,B'4=-1/30,B'5=0,B'6=1/42,… である。しかし,一般に応用数学の分野では,ベルヌーイ数を Bn とすると,Bn =(-1) n-1 B'2n とおいて,Bn =2(2n)!ζ(2n)/(2π)2n ( ζ はゼータ関数) で表わされ,B 1=1/6,B 2=1/30,B 3=1/42,B 4=1/30,B 5=5/66,… とされる。すなわち符号因子 (-1) n をつけることによってすべてを正の有理数にするのである。これらの数をベルヌーイ数という。



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