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5の平方根

5の平方根(ごのへいほうこん)は、平方して 5 になる実数である。正のものと負のものの2つがある。正の平方根は

[math]\sqrt{5}[/math]

と書き、「ルート5」と読む。また、負の平方根は

[math]-\sqrt{5}[/math]

である。以下、正の平方根について記述する。

5無理数であることが知られており、したがって小数部分は循環しない。オンライン整数列大辞典によると、十進法表示の小数点以下98桁までは以下の通りである[1]

2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 70897 24541 05209 25637 80489 94144 14408 37878 227…

語呂合わせでは「富士山麓オウム鳴く(ふじさんろくおうむなく)」などがある。

性質

[math]\sqrt{5}=2+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{\cdots}}}}}}}[/math]

となる。

  • 黄金比5 が登場する。具体的には
[math]\mathbf{1}:{{\mathbf{1}+\mathbf{\sqrt5}}\over\mathbf{2}}[/math]

で表される。

[math]F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\} = {{\phi^n - (1-\phi)^{-n}} \over \sqrt{5}}[/math]

で表される。

脚注

  1. オンライン整数列大辞典の数列 A002163 2009年10月21日閲覧

関連項目

外部リンク