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無理数

無理数(むりすう、 : irrational number

整数 p と 0でない整数 q を用いて,11821300 siki0.gifと表すことができる数を有理数といい,有理数でない実数を無理数という。小数では,無理数は循環(循環小数)しない無限小数として表される。√2=1.41421356…,円周率π=3.14159265…,自然対数 e=2.7182818…などは無理数であることが知られている。実数は,有限小数または無限小数として表される数で,数直線上の点と一対一に対応するが,有理数から出発して,収束する有理数列の極限を付け加えることによって構成される。厳密な構成法としては,コーシー列(コーシーの条件)を用いて完備化する方法,ユリウス・W.R.デデキントが導入した切断による方法などがある。有理数を係数とする代数方程式の解となる数を代数的数といい,そうでない実数を超越数と呼ぶ。超越数は無理数である。上の無理数の例のうち,√2は方程式 x2-2=0 の解の一つであるから代数的数である。円周率π,自然対数の底 e は超越数であることが知られている。