レムニスケート周率

レムニスケート周率（レムニスケートしゅうりつ、英: lemniscate constant）とは、円周率のレムニスケートにおける対応物である。レムニスケートを研究する過程で「発見」され、特にガウスが深く研究したとされる。

通常は、ギリシャ文字のパイの小文字 π の異字体 ϖ（オメガの小文字 (ω) の上に横棒を1本つけたような形）で表され、実際の数値は、

ϖ = 2.622057554292119810464839589891...(オンライン整数列大辞典の数列 A062539)

（小数点以下30桁まで）である。なお、長さのパラメータ単位を1としたとき、レムニスケートの周長は、（円の周長が、円周率の倍の値であるのと同様に）レムニスケート周率の倍の値となる。

レムニスケート周率は、第一種完全楕円積分で表され、無理数でもあり、超越数でもある。

すなわち、次の式により求めることができる。

[math]\varpi=2\int_{0}^{1} \frac{dr}{\sqrt{1-r^4}}=\sqrt 2 K\left(\frac{1}{\sqrt 2}\right)=\frac{\Gamma \left(\frac14 \right)^2}{2^{3/2}\pi^{1/2}}[/math]

ただし、ここで r は、レムニスケートの極座標表示

[math]r^2=\cos 2\theta\, [/math]

の r である。

なお、これと対比して、円周率 π は、次の式で求めることができる。

[math]\pi=2\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}[/math]

外部リンク

• Weisstein, Eric W. “Lemniscate Constant”. MathWorld（英語）.