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楕円積分

以下の積分をそれぞれ、第一種、第二種、第三種の楕円積分(だえんせきぶん、: elliptic integral)という[1]

[math]\begin{align} F(x,k) &= \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}} \\ E(x,k) &= \int_0^x \sqrt{\frac{1-k^2 t^2}{1-t^2}} ~ dt \\ \Pi(a;x,k) &= \int_0^x \frac{dt}{(1-at^2)\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}} \end{align}[/math]

[math]|k|\leq{1}[/math]母数(modulus)、[math]a[/math]を特性(characteristic)という。母数[math]k[/math]の代わりにパラメーター[math]m=k^2[/math]、或いはモジュラー角[math]\alpha=\sin^{-1}k[/math]を用いることもあり、慣れない人を混乱させる種になっている。日本語の場合は、特性[math]a[/math]を助変数(通常はparameterの訳語)と称することもあるので更に注意が必要である。

楕円弧長など、三次式、或いは四次式の平方根積分は楕円積分に帰着し、初等的に求まらないことが知られている。

ルジャンドルの標準形

最初に示したものはヤコービの標準形であるが、ヤコービの標準形において[math]t=\sin{\theta}[/math]と置けば幾らか簡単なルジャンドルの標準形が得られる。

[math]\begin{align} F(\varphi,k) &= \int_0^\varphi \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}} \\ E(\varphi,k) &= \int_0^\varphi \sqrt{1-k^2\sin^2\theta} ~ d\theta \\ \Pi(a;\varphi,k) &= \int_0^\varphi \frac{d\theta}{(1-a\sin^2\theta)\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}} \end{align}[/math]


特定の母数の場合

[math]k=0[/math]の場合は逆三角関数に、[math]k=1[/math]の場合は逆双曲線関数になる。

[math]\begin{align} F(x,0) &= \int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt}=\int_0^{\sin^{-1}x}{\frac1{\sqrt{1-\sin^2\theta}}}(\sin\theta)'d\theta = \sin^{-1}x \\ F(x,1) &= \int_0^x{\frac{1}{1-t^2}dt}=\int_0^{\tanh^{-1}x}{\frac1{1-\tanh^2\theta}}(\tanh\theta)'d\theta=\tanh^{-1}x \\ E(x,0) &= \int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt}=F(x,0)=\sin^{-1}x \\ E(x,1) &= \int_0^x{dt}=x \end{align}[/math]

また特に[math]a=k^2[/math]のとき、第三種楕円積分は第二種楕円積分で表すことができて、

[math]\Pi(k^2;\varphi,k)=\frac{1}{1-k^2}\left\{E(\varphi,k)-\frac{k^2\sin2\varphi}{2\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}\right\}[/math]

となる。

第一種完全楕円積分

第一種完全楕円積分は、第一種楕円積分の積分範囲を[math]\theta=\pi/2[/math]までとしたものである。

[math]K(k)=F\left(\frac{\pi}{2},k\right)=\int_0^{\pi/2}{\frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}}d\theta[/math]

[math]k^2\sin^2\theta[/math]テイラー級数に展開した後、ウォリスの公式を用いて項別に積分すると

[math]\begin{align}K(k) &=\int_0^{\pi/2}{\left(1-k^2\sin^2\theta\right)^{-\frac{1}{2}}}d\theta\\ &=\int_0^{\pi/2}{\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{2^n}\frac{(k^2\sin^2\theta )^n}{n!}}\right)}d\theta\\ &=\frac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}k^{2n}\int_0^{\pi/2}{\sin^{2n}\theta}d\theta}\\ &=\frac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}k^{2n}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2}}\\ &=\frac{\pi}{2}\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2k^{2n}}\right)\\ &=\frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2k^{2n}}\\ \end{align}[/math]

となる。ただし、[math](-1)!!=1[/math]と定義する。

第二種完全楕円積分

第二種完全楕円積分は、第二種楕円積分の積分範囲を[math]\theta=\pi/2[/math]までとしたものである。

[math]E(k)=E\left(\frac{\pi}{2},k\right)=\int_0^{\pi/2}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}d\theta[/math]

[math]k^2\sin^2\theta[/math]のテイラー級数に展開した後、ウォリスの公式を用いて項別に積分すると

[math]\begin{align}E(k) &=\int_0^{\pi/2}{\left(1-k^2\sin^2\theta\right)^{\frac{1}{2}}}d\theta\\ &=\int_0^{\pi/2}{\left(1-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n-1)2^n}\frac{(k^2\sin^2\theta )^n}{n!}}\right)}d\theta\\ &=\frac{\pi}{2}-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n-1)(2n)!!}k^{2n}\int_0^{\pi/2}{\sin^{2n}\theta}d\theta}\\ &=\frac{\pi}{2}-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n-1)(2n)!!}k^{2n}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2}}\\ &=\frac{\pi}{2}\left(1-\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2\frac{k^{2n}}{2n-1}}\right)\\ &=\frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2\frac{k^{2n}}{1-2n}}\\ \end{align}[/math]

となる。ただし、[math](-1)!!=1[/math]と定義する。

ルジャンドルの関係式

次の恒等式ルジャンドルの関係式という。

[math]K(k)E\left(\sqrt{1-k^2}\right)+E(k)K\left(\sqrt{1-k^2}\right)-K(k)K\left(\sqrt{1-k^2}\right)=\frac{\pi}{2}[/math]

ランデン変換とガウス変換

次の恒等式をランデン変換という。

[math]F\left(\sin\alpha,k\right)=\frac{2}{1+k}F\left(\frac{1}{2}\sqrt{\left(1+k\right)^2\sin^2\alpha+\left(\sqrt{1-k^2\sin^2\alpha}-\sqrt{1-\sin^2\alpha}\right)^2},\frac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)[/math]

次の恒等式をガウス変換という。

[math]F\left(\sin\alpha,k\right)=\frac{1}{1+k}F\left(\frac{(1+k)\sin\alpha}{1+k\sin^2\alpha},\frac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)[/math]

楕円積分の応用

楕円の求積

楕円[math]x^2 + (y/c)^2 = 1[/math]の弧長は、

[math]\begin{align} L&=\int{ds}=\int{\sqrt{dx^2+dy^2}}=\int{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}}dx\\ &=\int{\sqrt{1+\left(\mp\frac{cx}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2}}dx\\ &=\int{\sqrt{\frac{1-x^2+c^2x^2}{1-x^2}}}dx \end{align}[/math]

となる。離心率[math]k=\sqrt{1-c^2}[/math]を用いれば、上式は、

[math]L=\int{\sqrt{\frac{1-k^2x^2}{1-x^2}}}dx[/math]

となり、第二種楕円積分が現れる。 したがって、楕円の円周上で[math]x[/math]座標が[math]0[/math]の点から[math]x[/math]座標が[math]x[/math]の点までの弧長は[math]L(x)=E(x,k)[/math]となる。 ここで[math]k=0[/math]とすれば楕円は真円になり、弧長は[math]L(x)=E(x,0)=\sin^{-1}{x}[/math]となる。 (ここでは[math]\sin[/math][math]x[/math]軸の方向になっていることに注意すること。)

単振子の周期

参照: 振り子#単振り子の等時性の破れ

引用文献

  1. 森口繁一・宇田川銈久・一松信 (1987). 岩波 数学公式I 微分積分・平面曲線, 新装版, 岩波書店, 140 - 151. ISBN 978-4000055079. 

関連項目