ルベーグの分解定理
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数学の測度論の分野における ルベーグの分解定理（ルベーグのぶんかいていり、英: Lebesgue's decomposition theorem）[1][2][3]とは、ある可測空間 [math](\Omega,\Sigma)[/math] 上のすべての二つのσ-有限な符号付測度 [math]\mu[/math] および [math]\nu[/math] に対して、次を満たすような二つの σ-有限な符号付測度 [math]\nu_0[/math] および [math]\nu_1[/math] が存在することを述べた定理である。
- [math]\nu=\nu_0+\nu_1\, [/math]
- [math]\nu_0\ll\mu[/math]（すなわち、[math]\nu_0[/math] は [math]\mu[/math] に関して絶対連続）
- [math]\nu_1\perp\mu[/math]（すなわち、[math]\nu_1[/math] と [math]\mu[/math] は特異的）
これら二つの測度は、[math]\mu[/math] および [math]\nu[/math] によって一意的に定められる。
改良
ルベーグの分解定理を改良する方法は多く存在する。
はじめに、実数直線上のある正則なボレル測度の特異部の分解は、次のように改良できる[4]。
- [math]\, \nu = \nu_{\mathrm{cont}} + \nu_{\mathrm{sing}} + \nu_{\mathrm{pp}}[/math]
但し
- νcont は絶対連続（absolutely continuous）な部分
- νsing は特異連続（singular continuous）な部分
- νpp は純点（pure point）の部分（離散測度）
つづいて、絶対連続測度はラドン＝ニコディムの定理によって分類され、離散測度は簡単に理解することが出来る。したがって（特異連続測度はさておき）ルベーグの分解は測度の非常に明解な記述を提供するものとなる。カントール測度（実数直線上の確率測度で累積分布関数がカントール関数であるようなもの）は特異連続測度の一例である。
関連する概念
レヴィ＝伊藤分解
"「レヴィ＝伊藤分解」"
確率過程に対する同様な分解に、次のようなレヴィ＝伊藤分解がある。あるレヴィ過程 X が与えられたとき、それは次のような三つの独立なレヴィ過程の和 [math]X=X^{(1)}+X^{(2)}+X^{(3)}[/math] に分解される。
- [math]X^{(1)}[/math] はドリフトを伴うブラウン運動で、絶対連続な部分に対応する；
- [math]X^{(2)}[/math] は複合ポアソン過程で、純点の部分に対応する；
- [math]X^{(3)}[/math] は自乗可積分な pure-jump マルチンゲールで、有限区間においてほとんど確実に可算個の jumps を持つようなものであり、特異連続な部分に対応する。
関連項目
引用
参考文献
- Halmos, Paul R. (1974) [1950], Measure Theory, Graduate Texts in Mathematics, 18, New York, Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90088-9, MR 0033869, Zbl 0283.28001
- Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and Abstract Analysis. A Modern Treatment of the Theory of Functions of a Real Variable, Graduate Texts in Mathematics, 25, Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90138-1, MR 0188387, Zbl 0137.03202
- Rudin, Walter (1974), Real and Complex Analysis, McGraw-Hill Series in Higher Mathematics (2nd ed.), New York, Düsseldorf, Johannesburg: McGraw-Hill Book Comp., ISBN 0-07-054233-3, MR 0344043, Zbl 0278.26001