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確率過程

確率論において、確率過程(かくりつかてい、英語: stochastic process)は、時間とともに変化する確率変数のことである。 株価為替の変動、ブラウン運動などの粒子のランダムな運動を数学的に記述する模型(モデル)として利用している。不規則過程英語: random process)とも言う[1]

数学的な定義

確率空間[math](\Omega, \mathcal{F}, P)[/math]可測空間 (S, Σ)・全順序集合 T が与えられたとする。

時刻 T で添字つけられる状態空間 S に値をとる確率過程 Xテンプレート:Msub とは

[math]X \colon \Omega \times T \to S[/math]

であり、すべての tT に対してXテンプレート:MsubΩ 上の確率変数となるものである。

普通、T としては離散時間 T = {1, 2, 3, …} や連続時間 T = [0, ∞) を考え、状態空間 S としてはユークリッド空間 Rテンプレート:Msup整数 Z を考える。

有限次元分布

XS に値をとる確率過程とする。すべての有限列 [math]T'=( t_1, \ldots, t_k ) \in T^k[/math]について、k-タプル [math]X_{T'} = (X_{t_1}, X_{t_2},\ldots, X_{t_k})[/math]Sテンプレート:Msup を値にとる確率変数となる。この確率変数の分布 [math]\mathbb{P}_{T'}(\cdot) = \mathbb{P} (X_{T'}^{-1}(\cdot))[/math][math]S^k[/math] 上の確率測度となる。このようにして得られる分布を X有限次元分布という。

適切な位相的な制約を加えることで、有限次元分布の「一貫した」集まりを得られる。これを用いて、ある種の確率過程を定義することができる。(例えば、コルモゴロフの拡張。)

ブラウン運動の数学的モデルはウィーナー過程である。連続時間でユークリッド空間に値をとる確率過程の典型例である。ウィーナー過程以外に、独立増分過程(レヴィ過程)、ガウス過程マルチンゲールマルコフ過程マルコフ連鎖定常過程といった確率過程がある[2]

脚注

  1. 足立修一「システム同定の基礎」東京電機大学出版局、ISBN 978-4-501-11480-0、page.36
  2. 岩波, 54 確率過程 p.132.

参考文献

関連項目