有限次元分布
数学における有限次元分布（ゆうげんじげんぶんぷ、英: finite-dimensional distributions）とは、測度論および確率過程の分野に登場するある道具のことを言う。ある測度（あるいは過程）のある有限次元ベクトル空間（あるいは有限時間の全体）への上への「射影」を調べることで、多くの情報が得られる。
Contents
測度の有限次元分布
[math](X, \mathcal{F}, \mu)[/math] をある測度空間とする。[math]\mu[/math] の有限次元分布とは、任意の可測函数 [math]f : X \to \mathbb{R}^{k}[/math], [math]k \in \mathbb{N}[/math] に対する押し出し測度 [math]f_{*} (\mu)[/math] のことを言う。
確率過程の有限次元分布
[math](\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})[/math] をある確率空間とし、[math]X : I \times \Omega \to \mathbb{X}[/math] をある確率過程とする。[math]X[/math] の有限次元分布とは、[math]k \in \mathbb{N}[/math] に対する直積空間 [math]\mathbb{X}^{k}[/math] 上の押し出し測度
- [math]\mathbb{P}_{i_{1} \dots i_{k}}^{X} (S) := \mathbb{P} \left\{ \omega \in \Omega \left| \left( X_{i_{1}} (\omega), \dots, X_{i_{k}} (\omega) \right) \in S \right. \right\} [/math]
のことを言う。
この条件は頻繁に、可測な長方形領域を用いて次のように表現される。
- [math]\mathbb{P}_{i_{1} \dots i_{k}}^{X} (A_{1} \times \cdots \times A_{k}) := \mathbb{P} \left\{ \omega \in \Omega \left| X_{i_{j}} (\omega) \in A_{j} \mathrm{\,for\,} 1 \leq j \leq k \right. \right\}.[/math]
ある過程 [math]X[/math] の有限次元分布の定義は、次のようにして測度 [math]\mu[/math] の定義と関連付けられる：[math]X[/math] の法則 [math]\mathcal{L}_{X}[/math] とは、[math]I[/math] から [math]\mathbb{X}[/math] への函数の全体 [math]\mathbb{X}^{I}[/math] 上のある測度であったことを思い出されたい。一般に、これは無限次元空間となる。[math]X[/math] の有限次元分布は、有限次元直積空間 [math]\mathbb{X}^{k}[/math] 上の押し出し測度 [math]f_{*} \left( \mathcal{L}_{X} \right)[/math] である。ここで
- [math]f : \mathbb{X}^{I} \to \mathbb{X}^{k} : \sigma \mapsto \left( \sigma (t_{1}), \dots, \sigma (t_{k}) \right)[/math]
は自然な「時間 [math]t_{1}, \dots, t_{k}[/math] での評価」の函数である。
緊密性との関連
確率測度の列 [math](\mu_{n})_{n = 1}^{\infty}[/math] が緊密で、[math]\mu_{n}[/math] のすべての有限次元分布が対応するある確率測度 [math]\mu[/math] の有限次元分布に弱収束するなら、[math]\mu_{n}[/math] は [math]\mu[/math] に弱収束する。