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カントール分布

カントール分布(カントールぶんぷ、: Cantor distribution)とは、累積分布関数カントール関数であるような確率分布のことを言う。

この分布はルベーグ測度に関して絶対連続ではなく、どのような点質量も持たないため、確率密度関数確率質量関数 (probability mass functionも存在しない。したがってこの分布は離散確率分布でも連続確率分布でもなく、それらを組み合わせたものでもない。この分布はむしろ特異分布の一例である。

この分布の累積分布関数は、しばしば悪魔の階段と呼ばれる。しかしこの用語はより一般的な意味を持つものである。

特徴

カントール分布のは、(可算無限個の)集合

[math] \begin{align} C_{0} = & [0,1] \\ C_{1} = & [0,1/3]\cup[2/3,1] \\ C_{2} = & [0,1/9]\cup[2/9,1/3]\cup[2/3,7/9]\cup[8/9,1] \\ C_{3} = & [0,1/27]\cup[2/27,1/9]\cup[2/9,7/27]\cup[8/27,1/3]\cup \\ & [2/3,19/27]\cup[20/27,7/9]\cup[8/9,25/27]\cup[26/27,1] \\ C_{4} = & \cdots \end{align} [/math]

共通部分であるような、カントール集合である。

カントール分布は、任意の Ctt ∈ { 0, 1, 2, 3, ... })に対して、カントール分布の確率変数を含む Ct 内のある特定の区間が、その 2t 個の各区間の上で恒等的に 2-t であるような唯一つの確率分布である。

モーメント

対称性により、この分布を持つような確率変数 X に対して、その期待値は E(X) = 1/2 となり、すべての X の奇中心モーメントは 0 であることが簡単に分かる。

分散 var(X) を求める上で、全分散の法則English版を次の様に用いることが出来る。上述の集合 C1 に対して、X ∈ [0,1/3] であれば Y = 0 とし、X ∈ [2/3,1] であれば Y = 1 とする。このとき、

[math] \begin{align} \operatorname{var}(X) & = \operatorname{E}(\operatorname{var}(X\mid Y)) + \operatorname{var}(\operatorname{E}(X\mid Y)) \\ & = \frac{1}{9}\operatorname{var}(X) + \operatorname{var} \left\{ \begin{matrix} 1/6 & \mbox{with probability}\ 1/2 \\ 5/6 & \mbox{with probability}\ 1/2 \end{matrix} \right\} \\ & = \frac{1}{9}\operatorname{var}(X) + \frac{1}{9}. \end{align} [/math]

が得られる。これより

[math]\operatorname{var}(X)=\frac{1}{8} [/math]

が得られる。任意の偶中心モーメントEnglish版に対する閉形式表現は、初めに偶キュムラント[1]

[math] \kappa_{2n} = \frac{2^{2n-1} (2^{2n}-1) B_{2n}} {n\, (3^{2n}-1)}, \,\! [/math]

を得、続いてそのキュムラントの関数としてモーメントを表現することで得られる。ここで B2n は 2n 番目のベルヌーイ数である。

脚注