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ゲルフォント=シュナイダーの定理

ゲルフォント=シュナイダーの定理 (ゲルフォント=シュナイダーのていり、: Gel'fond-Schneider's theorem) は、指数関数の値の超越性に関する定理である。1934年に、アレクサンダー・ゲルフォント (en) とテオドール・シュナイダー (en) によって、それぞれ独立に証明された。

定理の主張

α を 0, 1 以外の代数的数、β を有理数ではない代数的数としたとき、[math]\alpha^\beta[/math] は、超越数である。

系1
[math]\alpha_1, \alpha_2[/math] を 0, 1 以外の代数的数とする。[math]\log\alpha_1/\log\alpha_2[/math] は、有理数であるか超越数である。
系2
[math]\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2[/math] を 0 以外の代数的数とする。もし、[math]\log\alpha_1, \log\alpha_2[/math] が有理数体上線形独立であるならば、[math]\beta_1\log\alpha_1 + \beta_2\log\alpha_2\ne 0[/math] である。

ゲルフォント=シュナイダーの定理を用いて、以下の数が超越数であることが示される。

  • [math]2^{\sqrt{2}}[/math]
  • [math]\sqrt{2}^{\sqrt{2}}[/math]
  • [math]e^{\pi}\ (= (-1)^{-i})[/math] 。これはゲルフォントの定数とよばれる。
  • 有理数ではない代数的数 [math]\alpha[/math] に対する、[math]\sin{\alpha\pi}[/math], [math]\cos{\alpha\pi}[/math], [math]\tan{\alpha\pi}[/math]
  • [math]i\alpha[/math] が有理数ではない代数的数 [math]\alpha[/math] に対する、[math]\sinh{\alpha\pi}[/math], [math]\cosh{\alpha\pi}[/math], [math]\tanh{\alpha\pi}[/math]
  • 乗法的独立[1]である、0, 1 ではない代数的数 [math]\alpha,\ \beta[/math] に対する、[math]\log{\alpha}/\log{\beta}[/math]

歴史

ヒルベルトは、1900年にパリで行われた国際数学者会議において、ヒルベルトの23の問題と呼ばれる23個の問題のうち、7番目の問題として、「a が 0 でも 1 でもない代数的数で、b が代数的無理数であるとき、ab超越数であるか」を提出した。

その後、1929年に、ゲルフォントによって、β が虚二次体の場合に、[math]\alpha^\beta[/math] が超越数であることを証明し、例えば、[math]e^\pi[/math] が超越数であることを示した。

その直後、ゲルフォントの方法を元にして、ジーゲル (C. L. Siegel) は、β が実二次体の場合に成り立つことを示したが、発表はされなかった。翌年(1930年)、クズミン (R. O. Kuz'min) は、ゲルフォントの方法に基づいて、同じ結果を発表した。

1934年に、ゲルフォントとシュナイダーがそれぞれ独立に、β が一般の代数的数の場合に成り立つことを証明した。 この結果、ヒルベルトの第7問題が肯定的に証明された。 ヒルベルトは、第7問題は大変難しい問題であり、リーマン予想の方が早く解決するのではないかと思っていたが、10年余りで証明されたことを聞いて、大変驚いたという。

ゲルフォント=シュナイダーの定理より、2つの代数的数の対数が有理数体上線形独立であれば、代数的数体上線形独立となるが(系2)、この結果を 2以上の対数に拡張したものが、アラン・ベイカーによって、1966年に発表された(ベイカーの定理を参照)。

脚注

  1. 整数 [math]k,\ l[/math] に対して、[math]\alpha^k \beta^l = 1[/math] ならば、[math]k = l = 0[/math] が成り立つとき、[math]\alpha,\ \beta[/math] は、乗法的独立であるという。

関連項目

参考文献

  • 杉浦, 光夫編 『ヒルベルト23の問題』 日本評論社、東京、1997年。
  • 塩川, 宇賢 『無理数と超越数』 森北出版、東京、1999年。
  • I., Niven (1956). Irrational numbers, The Carus Math. Monog.. Washington: Math. Assoc. of America.