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ゲルフォントの定数

ゲルフォントの定数(ゲルフォントのていすう、英語: Gelfond's constant)は数学定数の一つで、ネイピア数 e円周率 π を用いて eπ と表される数である。小数表示は

eπ = 23.14069 26327 79269 00572 90863 67948 54738 02661 06242 60021 19934 45046 40952 43423 50690 45278 35169 71997 06754 92196 76

である。この数はロシア数学者アレクサンドル・ゲルフォントEnglish版にちなんで名付けられた。ゲルフォントの定数は eπ と同様に超越数である。このことはゲルフォント=シュナイダーの定理から証明できる。

数学的性質

eπオイラーの公式

[math]e^{ix} =\cos x+i\sin x[/math]

から以下のように変形できる。ここで i虚数単位である。

[math]e^{\pi} =(e^{i \pi} )^{-i} =(\cos \pi +i\sin \pi )^{-i} =(-1)^{-i}[/math]

ゲルフォント=シュナイダーの定理は 「a を 0, 1 でない代数的数b有理数でない代数的数とすると、ab は超越数である」という内容である。a = −1, b = −i はこの条件を満たすので、(−1)i は超越数である。すなわち eπ は超越数である。

ちなみに、ee, ππ, πe などは有理数かどうか分かっていない。つまりこれらは超越数かどうかは知られていない。

[math]k_0 =\frac{1}{\sqrt{2}}[/math] として

[math]k_n =\frac{1-\sqrt{1-{k_{n-1}}^2}}{1+\sqrt{1-{k_{n-1}}^2}}[/math]

と定義されるとき、 数列

[math]\left( \frac{4}{k_{n+1}} \right)^{2^{-n}}[/math]

eππ収束する。

eππほとんど整数である。

eππ = 19.99909997918947…

関連項目

外部リンク