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正弦定理

正弦定理(せいげんていり、law of sines)とは三角形の内角の正弦(サイン)とその対辺の長さの関係を示したものである。正弦法則ともいう。多くの場合、平面三角法における定理を指すが、球面三角法などでも類似の定理が知られており、同じように正弦定理と呼ばれている。

概要

△ABC において、BC = a, CA = b, AB = c, 外接円の半径を R とすると、

[math]\frac{a}{\sin A} =\frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C} =2R[/math]

が成り立つという定理である。これより一辺とその両端の角から他の二辺が分かり、三角測量の基礎となっている定理である。

これは A, B, C に関して対等な表現であるから、その内の1つだけを取り出した

[math]\frac{a}{\sin A} =2R[/math] あるいは a = 2R sin A

を正弦定理であると表現することもできる。

証明

以下の証明では角度弧度法で表している。なお π = 180° である。

0 < ∠A < π2 のとき

直径 BD を取る。

円周角の定理より ∠A = ∠D である。

△BDC において、BD は直径だから、

[math]\text{BD} =2R , \ang \text{BCD} = \frac{\pi}{2}[/math]

である。よって、正弦の定義より、

[math]\sin D= \frac{a}{2R}[/math]

である。ゆえに

[math]\sin A=\sin D=\frac{a}{2R}[/math]

変形すると

[math]\frac{a}{\sin A} =2R[/math]

が得られる。∠B, ∠C についても同様に示される。

∠A = π2 のとき

BC = a = 2R であり、

[math]\sin A=\sin \frac{\pi}{2} =1[/math]

であるから、

[math]\frac{a}{\sin A} =2R[/math]

は成り立つ。


π2 < ∠A < π のとき

直径 BD を取る。

円に内接する四角形の性質から、

[math]\angle \text{D} = \pi -\ang \text{A}[/math]

である。つまり、

[math]\sin A=\sin D[/math]

となる。 BD は直径だから、

[math]\text{BD} =2R , \ang \text{BCD} =\frac{\pi}{2}[/math]

である。よって、正弦の定義より、

[math]\sin A=\sin D= \frac{a}{2R}[/math]

である。変形すると

[math]\frac{a}{\sin A} = 2R[/math]

が得られる。∠B, ∠C についても同様に示される。

以上より正弦定理が成り立つ。

また、逆に正弦定理を仮定すると、「円周角の定理」、「内接四角形の定理」(円に内接する四角形の対角の和は 180° 度であるという定理)を導くことができる。

球面三角法における正弦定理

球面上の三角形 ABC において、弧 BC, CA, AB の長さを球の半径で割ったものをそれぞれ a, b, c とすると、

[math]\frac{\sin a}{\sin A} =\frac{\sin b}{\sin B} =\frac{\sin c}{\sin C}[/math]

が成り立つ。これを球面三角法における正弦定理と呼ぶ。

関連項目

外部リンク