対数積分

数学において、対数積分（たいすうせきぶん、英: logarithmic integral function）li(x) とは、全ての正の実数 x ≠ 1 において次の自然対数 ln を含む定積分によって定義される特殊関数である。

[math]\operatorname{li} (x) = \int_{0}^{x}\! \frac{dt}{\ln t}[/math].

ただし関数 1/ln t は t = 1 において特異点を持つため、上記における x > 1 の積分は、次のようにコーシーの主値として解釈される。

[math]\operatorname{li} (x) = \lim_{\varepsilon \to 0+} \left( \int_{0}^{1-\varepsilon}\! \frac{dt}{\ln t} + \int_{1+\varepsilon}^{x}\! \frac{dt}{\ln t} \right)[/math].

性質

x → ∞ におけるこの関数の発展挙動は、

[math]\operatorname{li} (x) = \Theta \left( {x\over \ln x} \right)[/math].

対数積分は素数の密度を推定するために使われることが多く、素数定理などで次の式として登場する。

[math]\operatorname{\pi}(x) \sim \operatorname{li}(x) \sim \operatorname{Li}(x)[/math]

ここで π(x) は x 以下の素数の個数、Li(x) は補正対数積分関数であり、Li(x) はオイラーの対数積分とも呼ばれる。

[math]\operatorname{Li}(x) = \operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(2)[/math]

あるいは

[math]\operatorname{Li}(x) = \int_2^x\!\frac{dt}{\ln t}[/math]

である。このようにすると、積分表現が積分領域の特異点を回避するという優位点があり、また li(x) よりも素数個数関数 π(x) を非常に良く近似する。

関数 li(x) と指数積分 Ei(x) との間には、x ≠ 1 を満たす全ての正の整数について次の関係が成立する。

[math]\operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x)[/math]

関連項目

• 素数定理 π(x) ∼ Li(x)
• 指数積分 Ei(x)

外部リンク

• Weisstein, Eric W. “Logarithmic Integral”. MathWorld（英語）.