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多角数

多角数(たかくすう、: polygonal number)とは、正多角形の形に点を並べたときにそこに含まれる点の総数にあたる自然数である。多角形数ともいう。

例えば、10 個の点は

*
**
***
****

このように正三角形の形に並べることができるので 10 は三角数である。また、16 個の点は

****
****
****
****

このように正方形の形に並べることができ、16 は四角数(平方数)である。

三角数、四角数、六角数の例を以下に示す。

三角数
1 3 6 10
* *
**
*
**
***
*
**
***
****
四角数
1 4 9 16
* **
**
***
***
***
****
****
****
****
六角数
1 6 15 28
* **
* *
**
***
** *
* * *
** *
***
****
*** *
** * *
* * * *
** * *
*** *
****

五角数以上では、点を回転対称には並べないことに注意。

一般化

0 番目の多角数は全て、形式的に 0 とみなすことができる。

n 番目の p 角数を Pp,n とすると上の図から

[math]P_{p,n+1} - P_{p,n} = (p-2)n + 1\,[/math]

となり、したがって Pp,n等差数列の和

[math]\begin{align} P_{p,n} &= \sum_{k=0}^{n-1} \left\{ (p-2)k+1 \right\} \\ &= \frac{1}{2} n \left[1 + \left\{ (p-2)(n-1) + 1 \right\} \right] \\ &= \frac{(p-2)n^2 - (p-4)n}{2} \end{align}[/math]

となる。

この式から、2 番目のp 角数は p であり、3 番目の p 角数は 3(p − 1) であることなどが分かる。

なおここで、形式的に「二角数」(p = 2) を考えると、

[math]P_{2,n} = n \,[/math]

となり、自然数列そのものになる。これは、点を直線状に並べることに相当する。ただし古代ギリシャの数学者が直線数と呼んでいたのは、(矩形に並べられることができないことから)素数である。

性質

  • 任意の自然数は、高々 p 個の p 角数の和で表せる。これを多角数定理という。
  • 1 番目の多角数は 1、2 番目の p 角数は p である。したがって、2 以外の自然数はなんらかの多角数である。
  • 3 番目以降の多角数は、合成数である。
  • n 番目の p 角数は、n偶数p奇数のときに限り、n倍数でない。
  • n 番目の p 角数と n + 1 番目の p 角数の差は、(p − 2) n + 1 である。
  • n 番目の p 角数と n 番目の p + 1 角数の差は、p によらず n だけで決まり、n − 1 番目の三角数に等しい。(次の表を縦に読むと等差数列になっている。)

数表

名前 一般式 n = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 OEIS
三角数
(n2 + n)/2
1
3
6
10
15
21
28
36
45
55
66
78
91
テンプレート:OEIS2C
四角数
n2
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
テンプレート:OEIS2C
五角数
(3n2n)/2
1
5
12
22
35
51
70
92
117
145
176
210
247
テンプレート:OEIS2C
六角数
2n2n
1
6
15
28
45
66
91
120
153
190
231
276
325
テンプレート:OEIS2C
七角数
(5n2 − 3n)/2
1
7
18
34
55
81
112 148
189
235
286
342
403
テンプレート:OEIS2C
八角数
3n2 − 2n
1
8
21
40
65
96
133 176
225
280
341
408
481
テンプレート:OEIS2C
九角数
(7n2 − 5n)/2
1
9
24
46
75
111 154 204
261
325
396
474
559
テンプレート:OEIS2C
十角数
4n2 − 3n
1
10 27
52
85
126 175 232
297
370
451
540
637
テンプレート:OEIS2C
十一角数
(9n2 − 7n)/2
1
11 30
58
95
141 196 260
333
415
506
606
715
テンプレート:OEIS2C
十二角数
5n2 − 4n
1
12 33
64
105 156 217 288
369
460
561
672
793
テンプレート:OEIS2C
十三角数
(11n2 − 9n)/2
1
13 36
70
115 171 238 316
405
505
616
738
871
テンプレート:OEIS2C
十四角数
6n2 − 5n
1
14 39
76
125 186 259 344
441
550
671
804
949
テンプレート:OEIS2C
十五角数
(13n2 − 11n)/2
1
15 42
82
135 201 280 372
477
595
726
870
1027 テンプレート:OEIS2C
十六角数
7n2 − 6n
1
16 45
88
145 216 301 400
513
640
781
936
1105 テンプレート:OEIS2C
十七角数
(15n2 − 13n)/2
1
17 48
94
155 231 322 428
549
685
836
1002 1183 テンプレート:OEIS2C
十八角数
8n2 − 7n
1
18 51 100 165 246 343 456
585
730
891
1068 1261 テンプレート:OEIS2C
十九角数
(17n2 − 15n)/2
1
19 54 106 175 261 364 484
621
775
946
1134 1339 テンプレート:OEIS2C
二十角数
9n2 − 8n
1
20 57 112 185 276 385 512
657
820
1001 1200 1417 テンプレート:OEIS2C
二十一角数 (19n2 − 17n)/2
1
21 60 118 195 291 406 540
693
865
1056 1266 1495 テンプレート:OEIS2C
二十二角数 10n2 − 9n
1
22 63 124 205 306 427 568
729
910
1111 1332 1573 テンプレート:OEIS2C
二十三角数 (21n2 − 19n)/2
1
23 66 130 215 321 448 596
765
955
1166 1398 1651 テンプレート:OEIS2C
二十四角数 11n2 − 10n
1
24 69 136 225 336 469 624
801
1000 1221 1464 1729 テンプレート:OEIS2C
二十五角数 (23n2 − 21n)/2
1
25 72 142 235 351 490 652
837
1045 1276 1530 1807 テンプレート:OEIS2C
二十六角数 12n2 − 11n
1
26 75 148 245 366 511 680
873
1090 1331 1596 1885 テンプレート:OEIS2C
二十七角数 (25n2 − 23n)/2
1
27 78 154 255 381 532 708
909
1135 1386 1662 1963 テンプレート:OEIS2C
二十八角数 13n2 − 12n
1
28 81 160 265 396 553 736
945
1180 1441 1728 2041 テンプレート:OEIS2C
二十九角数 (27n2 − 25n)/2
1
29 84 166 275 411 574 764
981
1225 1496 1794 2119 テンプレート:OEIS2C
三十角数
14n2 − 13n
1
30 87 172 285 426 595 792 1017 1270 1551 1860 2197 テンプレート:OEIS2C

関連項目

外部リンク

テンプレート:級数