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六角数

六角数(ろっかくすう、hexagonal number)とは多角数の一種で、正六角形の形に点を下図のように並べたとき、図に含まれる点の総数にあたる自然数である。六角数は無数にあり、そのなかでは1が最も小さい。4で割ると1余る整数を1から小さい順に加えた数と定義してもよい。

例:6 = 1 + 5 、15 = 1 + 5 + 9 、120 = 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25 + 29
1 6 15 28
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n番目の六角数を Hn とすると上図より

H1 = 1 , Hn+1 = Hn + 4n + 1

が導かれる。よって六角数の式は

[math]H_n = H_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k + 1) = n(2n-1) \quad (n \geqq 2)[/math]

これは n = 1 のときも成り立つ。六角数を小さいものから順に列記すると

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946, …(オンライン整数列大辞典の数列 A384

となる。

n 番目の六角数は 2n − 1 番目(すなわち奇数番目)の三角数に等しい。ゆえに全ての六角数は三角数でもある。

また偶数完全数は全て奇数番目の三角数でもあるので、知られている完全数は全て六角数でもある。この偶数の六角数は 2n(4n − 1) で表すことができる。この偶数の六角数は

6, 28, 66, 120, 190, 276, 378, 496, 630, 780, 946,…である。(オンライン整数列大辞典の数列 A014635

六角数は1から順に奇数偶数が交互に現れる。また1以外の六角数は全て合成数である。

全ての自然数は高々6つの六角数ので表すことができる(→多角数定理)。 ただし1791よりも大きな自然数は4つの六角数の和で表すことができ、十分に大きい自然数は3つの六角数の和で表すことができる。6つの六角数が必要な数は1126の二つのみで次のような和の形で表される。

11 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 6 、26 = 1 + 1 + 6 + 6 + 6 + 6

六角数の逆数総和は以下のようになる。ln自然対数とする。

[math]\begin{align} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(2k-1)} &= \lim_{n \to \infty}2\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k} \right)\\ &= \lim_{n \to \infty}2\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2k-1} + \frac{1}{2k} - \frac{1}{k} \right)\\ &= 2 \lim_{n \to \infty}\left(\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\right)\\ &= 2 \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k} \\ &= 2 \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}\\ &= 2 \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}dx \\ &= 2 [ \ln(1+x) ]_{0}^{1} \\ &= 2 \ln{2}\\ & \approx{1.386294}\cdots\\ \end{align}[/math]

関連項目

外部リンク

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