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中心つき六角数

ファイル:Hex number 37.svg
37は、四番目の「中心つき六角数」。
ファイル:Glinski Chess Setup.png
六角形のマスを用いる変則チェスの一種。マス目の個数は、6番目の中心つき六角数である91個。

中心つき六角数(ちゅうしんつきろっかくすう、: centered hexagonal number)あるいはヘックス数 (hex number) とは、中心つき多角数の一種で、中心の一点を囲むように正六角形の形に点を並べたときの点の個数の総称である。


1 7 19 37
+1 +6 +12 +18
* **
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n 番目の中心つき六角数は以下の式によって表すことができる。

[math]C_{6,n}=n^3 - (n-1)^3 = 3n(n-1)+1.\,[/math]

中心つき六角数を小さいものから列挙すると次のようになる。

1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919,… (オンライン整数列大辞典の数列 A003215)

性質

上にあげた n 番目の中心つき六角数を表す式は

[math]1+6\left({1\over 2}n(n-1)\right)[/math]

のように変形できることから、n 番目の中心つき六角数は n − 1 番目の三角数の6倍に1を加えた数に等しい。

また中心つき六角数の1の位は 1–7–9–7–1 の順の繰り返しになっている。

なお中心つき六角数のうち 1, 19, 631, 21421,… は中心つき三角数でもある。(オンライン整数列大辞典の数列 A107118)

この中心つき六角数を単に「六角数」と呼ばれることもあるが、古代ギリシアで研究対象とされた多角数の一種である六角数と区別する必要がある。

n 番目の中心つき六角数を Hn とすると、H1 = 1 で漸化式

[math]H_{n+1}=H_n+6n\,[/math]

を満たすから、一般項は

[math]H_n=6\Delta_{n-1}+1=3n^2-3n+1=3n(n-1)+1\,[/math]

である。ここに、Δnn 番目の三角数である。中心つき六角数の母関数

[math]\frac{x^2+4x+1}{(1-x)^3}=1+7x+19x^2+37x^3+\cdots[/math]

で与えられる。

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n=3の場合
[math]3^3-2^3=27-8\,[/math]
または 28 - 3×3

n 番目までの中心つき六角数の和は立方数となる。すなわち

[math]\sum_{k=1}^n H_k=n^3[/math]

が成り立つ。これは

[math]H_n=n^3-(n-1)^3\,[/math]

より分かる。別の表現をすると、中心つき六角数は立方体数のグノモンである。

中心つき六角素数

中心つき六角素数(ちゅうしんつきろっかくそすう) とは中心つき六角数の数列において素数となる数である。具体的には

7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919,… オンライン整数列大辞典の数列 A002407.

(対応する n の値は 2, 3, 4, 5, 7, 10, 11, 12, 14, 15, 18, ...)

千以下で約61.1%、1万以下でも約48.3%が該当する[1]

脚注

関連項目

外部リンク