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ベータ関数


数学において、ベータ関数(ベータかんすう、: beta function)とは、ルシャンドルの定義に従って第一種オイラー積分とも呼ばれる特殊関数である。

定義

[math]\Re(x)\gt 0,\ \Re(y)\gt 0[/math]を満たす複素数 x, y に対して、

[math] \mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt \![/math]

と定義される関数をベータ関数と呼ぶ。

性質

対称性

ベータ関数は次のような対称性を持つ。

[math] \mathrm{\Beta}(x,y) = \mathrm{\Beta}(y,x). \![/math]


関数等式

ベータ関数は次の関係式を満たす。

  • [math] x \mathrm{\Beta}(x,y+1) = y \mathrm{\Beta}(x+1,y). \![/math]
  • [math] \mathrm{\Beta}(x,y) = \mathrm{\Beta}(x+1,y) + \mathrm{\Beta}(x,y+1). \![/math]
  • [math] (x+y) \mathrm{\Beta}(x,y+1) =y \mathrm{\Beta}(x,y). \![/math]


積分表示

変数変換を行うことで、以下の形にも表示できる。いずれも定義域は[math]\Re(x)\gt 0,\ \Re(y)\gt 0[/math]である。

  • [math] \mathrm{\Beta}(x,y) = 2\int_0^{\pi/2}\sin^{2x-1}\theta\cos^{2y-1}\theta\,d\theta \![/math]
  • [math] \mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^\infty\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt \![/math]
  • [math] \mathrm{\Beta}(x,y) = \frac{1}{2^{x+y-1}} \int_{-1}^{1} (1+t)^{x-1}(1-t)^{y-1} \,dt \![/math]


ポッホハマーの表示

[math]\log(\zeta(\zeta-1))[/math]リーマン面上の積分路として、実軸上の (0,1) 内の点から出発し、1を正の向きに、0を正の向きに、1を負の向きに、0を負の向きの順で回って、元の点に戻るポッホハマーの積分路English版を取れば、次のポッホハマーの表示が成り立つ。

[math] \mathrm{\Beta}= \frac{e^{-i\pi(x+y)}}{4\sin{\pi x}\sin{\pi y}} \int_{C}\zeta^{x-1}(1-\zeta)^{y-1} \, d\zeta [/math]


ガンマ関数との関係

ベータ関数は、次のようにガンマ関数と結び付く。

[math] \mathrm{\Beta}(x,y)=\frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \![/math]


級数表示

[math] \mathrm{\Beta}(x,y) = \frac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{y^{\underline{n+1}}}{n!(x+n)} \![/math]

但し、[math]x^{\underline{n}}[/math]下降階乗冪

[math]x^{\underline{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)[/math]

である。


特殊値

x = y = 1/2 のとき、以下が成り立つ。

[math]\Beta \biggl ( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \biggr )= \pi \,[/math]

正の整数 l, m に対して、以下が成り立つ。

[math]\Beta(l,m)= \frac{(l-1)!(m-1)!}{(l+m-1)!} \,[/math]

参考文献

  • E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press 1927.

関連項目

外部リンク