オイラー積分
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数学において、オイラー積分（オイラーせきぶん, 英: Euler integral, Eulerian integral）とは、数学者オイラー、ルジャンドルによって研究された積分[1][2]。第一種オイラー積分と第二種オイラー積分の2つが存在し、それぞれがベータ関数とガンマ関数に相当する。 オイラー積分の名はルジャンドルによって与えられた。
概要
第一種オイラー積分（Euler integral of the first kind）はベータ関数とも呼ばれ、[math]\Re(x)\gt 0[/math], [math]\Re(y)\gt 0[/math]を満たす[math]x[/math], [math]y[/math]に対して、
- [math]\Beta(x,y)= \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt =\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}[/math]
で定義される。
第二種オイラー積分（Euler integral of the second kind）はガンマ関数とも呼ばれ、[math]\Re(z) \gt 0[/math]を満たす[math]z[/math]に対して、
- [math]\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}\,e^{-t}\,dt[/math]
で定義される。
オイラー積分の性質として、正の整数[math]l[/math], [math]m[/math], [math]n[/math]に対して、
[math]\Beta(l,m)= {(l-1)!(m-1)! \over (l+m-1)!}={l+m \over lm{l+m \choose l}}[/math]
[math]\Gamma(n) = (n-1)! \,[/math]
という表示もある。
脚注
- ↑ *L. Euler, Nov. Comm. Petrop., XVI.(1772)
- ↑ Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures.
参考文献
- E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press 1927.