アーネシの曲線

ファイル:Witch of Agnesi.svg

アーネシの曲線。c = 1（赤）、2（青）、3（緑）

アーネシの曲線（アーネシのきょくせん） (伊: la versiera di Agnesi, 英: witch of Agnesi) またはアーネシの魔女は直交座標における方程式

[math]y = \frac{c^3}{x^2+c^2}[/math]

すなわち [math](x^2 + c^2)y - c^3 = 0[/math] によって表される曲線である。

18世紀イタリアの数学者マリア・ガエターナ・アニェージ（アーネシ）が研究したことからこの名がある。「魔女」というのはイタリア語の versiera（縄）の誤訳であって、意味はない。

ファイル:WitchOfAgnesi03a.png

アーネシの曲線

原点 O と y 軸上の点 M を結ぶ線分を直径とする円がある。 原点 O から円上の点 A に直線 OA を引く。 直線 OA は M から x 軸と平行に引いた直線と、点 N で交わる。 点 N から線分 OM と平行な直線を引き、これが点 A から x 軸と平行に引いた直線と交わる点を P とする。 A の変化につれて P が描く軌跡が、アーネシの曲線である。

方程式

ファイル:Agnesi.gif

アーネシの曲線をアニメーションで表現したもの

円の半径を a とすると（c=2a）、曲線の方程式はこうなる。

[math]y = \frac{8a^3}{x^2+4a^2}[/math]

a = 1/2 のとき、この方程式は次のとおり単純になる。

[math]y = \frac{1}{x^2+1}[/math]

t による媒介変数表示によって、次式で表すこともできる：

[math]x = 2at, \quad y = \frac{2a}{t^2+1}[/math]

[math]\theta\,[/math] を OM と OA とのなす角（時計回り）とすると、曲線は次式でも表せる。

[math]x = 2a \tan \theta,\quad y = 2a \cos ^2 \theta[/math]

[math]\theta\,[/math] を x 軸と OA とのなす角（反時計回り）とすると、曲線は次式でも表せる。

[math]x = 2a \cot \theta,\quad y=2a\sin ^2 \theta[/math]

性質

ファイル:WitchOfAgnesi04.png

アーネシの曲線で a=1, a=2, a=4, a=8 としたグラフ

• y 軸に対して線対称であり、x 軸を漸近線とする。
• 変曲点は [math]\left(-\frac{2a}{\sqrt{3}},\frac{3a}{2}\right),\left(\frac{2a}{\sqrt{3}},\frac{3a}{2}\right)[/math] である。

• 曲線と x 軸との間の領域の面積は、元の円の面積の4倍（つまり [math]4 \pi a^2[/math]）になる。
• 上の領域の重心は、(0, a/2) である（元の円の重心は (0, a) である）。
• 曲線と x 軸を y 軸の周りに回転させてできる立体の体積は、[math]4\pi^2 a^3[/math] である。

歴史

この曲線の性質については、ピエール・ド・フェルマー（1630年）、Guido Grandi（伊）（1703年）、マリア・ガエターナ・アニェージ（1748年）の研究が知られている。

イタリアではこの曲線は la versiera di Agnesi と呼ばれており、その英訳は the curve of Agnesi であるが、ケンブリッジ大学の教授 John Colson の誤訳によって、witch of Agnesi とも呼ばれる。

"The Witch of Agnesi" は Robert Spiller による創作小説。