算術幾何平均
数学において算術幾何平均（さんじゅつきかへいきん、Arithmetic-geometric mean）とは、2 つの複素数（しばしば正の実数）に対して算術平均（相加平均）と幾何平均（相乗平均）を繰り返し用いて作られる数列の極限のこと。
定義
[math]|\arg(b/a)|\ne\pi[/math] である複素数 [math]a,\ b[/math] について
[math]a_{0}=a, \quad b_{0}=b[/math]
[math]a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}, \quad b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\quad(n\ge0)[/math]
と定めれば数列 [math]\{a_n\}[/math] と [math]\{b_n\}[/math] は同じ値に収束する。その極限を [math]a,\ b[/math] の算術幾何平均と呼ぶ。ただし、幾何平均 [math]b_n[/math] の根号の符号は算術平均 [math]a_n[/math] の側にあるものを選ぶものとする。
[math]M(a,b)=\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n[/math]
[math]\real(b/a)\gt 0[/math] の場合、算術幾何平均は次式の楕円積分で表される。
[math]M(a,b)=\frac{\pi}{2}\bigg/\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}}[/math]
[math]\real(b/a)=0[/math] の場合は、次式になる。
[math]\begin{align}M(a,b) &=\frac{\pi}{2}\bigg/\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\cos^2\theta+ab\sin^2\theta}}\\ &=\frac{\pi}{2}\bigg/\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\sin^2\theta}}\\ &=\frac{\pi}{2}\bigg/\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\left(\frac{a+b}{2}\right)\sqrt{1-\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2\sin^2\theta}}\\ \end{align}[/math]
概要
[math]a,\ b[/math] が正の実数である場合、
[math] a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2} \ge \sqrt{a_n\cdot b_n} = b_{n+1} [/math]
が成り立ち（相加・相乗平均の関係式）、
[math]a_n \ge a_{n+1},[/math]
[math]b_{n+1} \ge b_n [/math]
となることから
[math]a_0 \ge a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge b_2 \ge b_1 \ge b_0[/math]
という関係が成り立っている。{an} は下に有界な単調減少数列であり、{bn} は上に有界な単調増加数列であるので、それぞれが収束する。{an} の極限を α とし、{bn} の極限を β とすると定義の漸化式から
[math]\alpha = \frac{\alpha + \beta}{2}[/math]
[math]\beta = \sqrt{\alpha \beta}[/math]
が両立しなければならない。2 式とも整理すれば α = β となるので、2 つの数列 {an}, {bn} は n → ∞ とした極限で同じ値に収束することが確かめられる。
性質
正の定数 [math]c \gt 0[/math] に対し
[math]M(ca,cb)=c M(a,b)[/math]
が成り立つ。
この数列の収束は
[math]|a_{n+1}-b_{n+1}| = \frac{(a_n-b_n)^2}{2(\sqrt{a_n}+\sqrt{b_n})^2} \leq C(a_n-b_n)^2[/math]
を満たすので、1回のステップで精度が2倍になる。
また次のことが知られている。
[math] \frac{\pi}{2} = M(1,\sqrt{1-k^2}) \int_0^1 \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-k^2z^2)}}. [/math]
右辺の積分は、楕円積分であり簡単には積分できない。しかし、算術幾何平均の収束が速いので、数値計算による円周率の計算に用いられることがある。
証明
複素数 [math]a,\ b[/math] の算術幾何平均が収束することは、以下によって証明できる。
[math]a_{n}^{\;2}-b_{n}^{\;2}=(a_n+b_n)(a_n-b_n)[/math]
[math]a_{n+1}^{\;2}-b_{n+1}^{\;2}=\left(\frac{a_n+b_n}{2}\right)^2-a_nb_n=\frac{(a_n-b_n)^2}{4}[/math]
[math]\left|a_n-b_n\right|\lt \left|a_n+b_n\right|[/math]となるように [math]b_n[/math] の根号の符号を決めると約束したので、
[math]\frac{\left|a_{n+1}^{\;2}-b_{n+1}^{\;2}\right|}{\left|a_{n}^{\;2}-b_{n}^{\;2}\right|}=\frac{\left|a_n-b_n\right|}{4\left|a_n+b_n\right|}\lt \frac{1}{4}[/math]
である。[math]d_n[/math] を [math]a_n[/math] の階差とすれば
[math]d_n=a_{n+1}-a_n=-\frac{a_n-b_n}{2}[/math]
[math]\frac{\left|d_{n+1}\right|}{\left|d_n\right|}=\frac{\sqrt{\left|a_{n+2}^{\;2}-b_{n+2}^{\;2}\right|}}{\sqrt{\left|a_{n+1}^{\;2}-b_{n+1}^{\;2}\right|}}\lt \frac{1}{2}[/math]
である。したがって、級数 [math]\sum{d_n}[/math] は絶対収束する。すなわち、数列 [math]\{a_n\}[/math] は収束し、数列 [math]\{b_n=2a_{n+1}-a_n\}[/math] は [math]\{a_n\}[/math] と同じ値に収束する。
算術幾何平均と楕円積分の関係は以下によって証明できる。ただし、[math]a,\ b[/math] は正の実数とする。
[math]\begin{align}I(a,b) &=\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}}\\ &=\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{(a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta)(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}}\\ &=\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{{\cos^2\theta}\sqrt{(a^2+b^2\tan^2\theta)(1+\tan^2\theta)}}\\ \end{align}[/math]
[math]x=\tan\theta[/math] と置換すると、
[math]\begin{align}I(a,b) &=\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{(a^2+b^2x^2)(1+x^2)}}\\ &=\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{a^2x^2+b^2x^2+b^2x^4+a^2}}\\ &=\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{(a+b)^2x^2+(bx^2-a)^2}}\\ &=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x\sqrt{\left(\displaystyle\frac{a+b}{2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{bx^2-a}{2x}\right)^2}}\\ \end{align}[/math]
[math]t=\frac{bx^2-a}{2\sqrt{ab}\;x}[/math] と置換することによって、
[math]x=\sqrt{ab}\;t+\sqrt{ab+abt^2},\quad dx=\left(\sqrt{ab}+\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab+abt^2}}\right)dt=\frac{x}{\sqrt{1+t^2}}dt[/math]
[math]\begin{align}I(a,b)
&=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dt}{\sqrt{\left(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2+abt^2\right)\left(1+t^2\right)}}\\
&=\int_{0}^{\infty}\frac{dt}{\sqrt{\left(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2+abt^2\right)\left(1+t^2\right)}}\\
&=I\left(\frac{a+b}{2},\sqrt{ab}\right)
\end{align}[/math]
となる。したがって、
[math]\begin{align}I(a,b) &=I(a_1,b_1)=\lim_{n\to\infty}I(a_n,b_n)=\lim_{n\to\infty}I\left(M(a,b),M(a,b)\right)\\ &=\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{M(a,b)^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}}=\frac{\pi}{2M(a,b)}\\ \end{align}[/math]
[math]a,\ b[/math] が複素数である場合は、積分路 [math]t=\frac{bx^2-a}{2\sqrt{ab}\;x}[/math] と実軸との間に（留数をもつ）極がないことを確かめなければならない。 [math]u=\real\left(b/a\right)[/math], [math]v=\image\left(b/a\right)[/math] とすれば、
[math]\begin{align}\frac{t}{\frac{a+b}{2\sqrt{ab}}} &=\frac{(b/a)x^2-1}{(1+b/a)x}=\frac{(u+iv)x^2-1}{(1+u+iv)x}\\ &=\frac{(ux^2-1+ivx^2)(1+u-iv)}{\left((1+u)^2+v^2\right)x}\\ &=\frac{(u+u^2+v^2)x^2-(1+u)+ivx^2+iv}{(1+2u+u^2+v^2)x}\\ \end{align}[/math]
これに [math]x^2=\frac{1+u}{u+u^2+v^2}[/math] を代入すると
[math]\begin{align}\frac{t}{\frac{a+b}{2\sqrt{ab}}} &=\frac{iv\frac{1+2u+^2+v^2}{u^2+v^2+u}}{(1+2u+u^2+v^2)\sqrt{\frac{1+u}{u+u^2+v^2}}}\\ &=\frac{iv}{\sqrt{(1+u)(u+u^2+v^2)}}\\ \end{align}[/math]
であり、[math]u\gt 0[/math] となるように幾何平均の根号の符号を決めると約束したので、積分路は極 [math]\pm i\,\frac{a+b}{2}[/math] の間（原点に近いところ）を通る。また、[math]u'=\real\left(\sqrt{b/a}\right)[/math], [math]v'=\image\left(\sqrt{b/a}\right)[/math] とすると、
[math]\begin{align}t &=\frac{\sqrt{b/a}\;x^2-\sqrt{a/b}}{2x}=\frac{(u'+iv')^2x^2-1}{(u'+iv')x}\\ &=\frac{(u'^2+v'^2)(u'+iv')x^2-(u'-iv')}{2(u'^2+v'^2)x}\\ \end{align}[/math]
これに [math]x^2=\frac{1}{u'^2+v'^2}[/math] を代入すれば
[math]\begin{align}t &=\frac{iv'}{\sqrt{u'^2+v'^2}}\\ \end{align}[/math]
であるから、積分路は極 [math]\pm{i}[/math] の間を通る。
算術調和平均
[math]|\arg(b/a)|\ne\pi[/math] である複素数 [math]a,\ b[/math] について算術平均と調和平均を繰り返して得られる数列
[math]a_{0}=a,\quad b_{0}=b[/math]
[math]a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},\quad b_{n+1}=\frac{2a_nb_n}{a_n+b_n}\quad(n\ge0)[/math]
の極限について
[math]\operatorname{AHM}(a,b)=\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n[/math]
である。つまり、算術調和平均は [math]a,\ b[/math] の幾何平均に等しい。このことは
[math]a_{n+1}b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\cdot\frac{2a_nb_n}{a_n+b_n}=a_nb_n[/math]
[math]\operatorname{AHM}(a,b)=\lim_{n\to\infty}\sqrt{a_nb_n}=\sqrt{ab}[/math]
から明らかである。
調和幾何平均
[math]|\arg(b/a)|\ne\pi[/math] である複素数 [math]a,\ b[/math] について幾何平均と調和平均を繰り返して得られる数列
[math]a_{0}=a,\quad b_{0}=b[/math]
[math]a_{n+1}=\frac{2a_nb_n}{a_n+b_n},\quad b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\quad(n\ge0)[/math]
の極限について
[math]\operatorname{HGM}(a,b)=\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n[/math]
である。つまり、調和幾何平均と算術幾何平均の積は幾何平均の自乗に等しい。このことは、[math]a_n,\ b_n[/math] を逆数にして
[math](1/a_{n+1})=(1/a_n)+(1/b_n),\quad (1/b_{n+1})=\sqrt{(1/a_n)(1/b_n)}[/math]
[math]\operatorname{HGM}(a,b)=\frac{1}{\operatorname{AGM}\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b}\right)}=\frac{ab}{\operatorname{AGM}\left(b,a\right)}[/math]
から明らかである。