強位相 (極位相)

函数解析学と関連する数学の分野において、強位相（きょういそう、英: strong topology）とは、最も細かい極位相、すなわちある双対組上で最大の開集合を伴う位相である。最も粗い極位相は弱位相と呼ばれる。

定義

[math](X,Y,\langle , \rangle)[/math] を、実数 [math]{\mathbb R}[/math] あるいは複素数 [math]{\mathbb C}[/math] の体 [math]{\mathbb F}[/math] 上のベクトル空間の双対組とする。[math]{\mathcal B}[/math] を、次に述べる意味で [math]Y[/math] の元によって評価されているすべての部分集合 [math]B\subseteq X[/math] の系とする。

[math] \forall y\in Y \qquad \sup_{x\in B}|\langle x, y\rangle|\lt \infty. [/math]

このとき、[math]Y[/math] 上の強位相 [math]\beta(Y,X)[/math] は、次の形の半ノルムによって生成される [math]Y[/math] 上の局所凸位相として定義される。

[math] \|y\|_B=\sup_{x\in B}|\langle x, y\rangle|,\qquad y\in Y,\qquad B\in{\mathcal B}. [/math]

[math]X[/math] が局所凸空間であるような特別な場合には、（連続）双対空間 [math]X'[/math]（すなわち、すべての連続線型汎函数 [math]f:X\to{\mathbb F}[/math] の空間）上の強位相は、強位相 [math]\beta(X',X)[/math] で定義され、それは [math]X[/math] 内の有界集合の一様収束位相、すなわち次の形状の半ノルムによって生成される [math]X'[/math] 上の位相と一致する。

[math] \|f\|_B=\sup_{x\in B}|f(x)|,\qquad f\in X'. [/math]

ただし [math]B[/math] は [math]X[/math] 内のすべての有界集合の族について考えられる。この位相を備える空間 [math]X'[/math] は、空間 [math]X[/math] の強双対空間（strong dual space）と呼ばれ、[math]X'_\beta[/math] と記述される。

例

• [math]X[/math] がノルム線型空間であるなら、強位相を伴うその（連続）双対空間 [math]X'[/math] は、バナッハ双対空間 [math]X'[/math]、すなわち作用素ノルムによって誘起される位相を伴う空間 [math]X'[/math] と一致する。逆に、[math]X[/math] 上の [math]\beta(X, X')[/math]-位相は、[math]X[/math] 上のノルムによって誘起される位相と一致する。

性質

• [math]X[/math] が樽型空間であるなら、その位相は [math]X[/math] 上の強位相 [math]\beta(X,X')[/math] や、組 [math](X,X')[/math] によって生成される [math]X[/math] 上のマッキー位相と一致する。

参考文献

• Schaefer, Helmuth H. (1966). Topological vector spaces. New York: The MacMillan Company. ISBN 0-387-98726-6.