双対ハーン多項式

双対ハーン多項式（そうついはーんたこうしき、英語: dual Hahn polynomials）は直交多項式のひとつで、アスキースキームによって体系付けられる。

定義

双対ハーン多項式は超幾何級数を用いて次のように定義される:

[math] R_{n}(\lambda(x); \gamma, \delta, N)={_{3}F_{2}}\left(\begin{matrix}-n,-x,x+\gamma+\delta+1\\ \gamma+1, -N\end{matrix}; 1 \right),\quad x = 0, 1, \ldots, N. [/math]

但し、[math]\lambda(x)=x(x+\gamma+\delta+1)[/math] とした。

性質

直交関係

[math]\gamma,\,\delta\lt -1[/math] または [math]\gamma,\,\delta\lt -N[/math] に対して以下の直交関係を満たす:

[math] \sum_{x=0}^{N}\frac{(2x+\gamma+\delta+1)(\gamma+1)_{x}(-N)_{x}N!}{(-1)^{x}(x+\gamma+\delta+1)_{N+1}(\delta+1)_{x}N!}R_{m}(\lambda(x); \gamma, \delta, N)R_{n}(\lambda(x); \gamma, \delta, N) =\frac{\delta_{mn}}{\binom{\gamma+N}{n}\binom{\delta+N-n}{N-n}}. [/math]

但し、[math](a)_{n}[/math] はポッホハマーの記号を表す。

漸化式

以下の漸化式が成り立つ。

[math] \lambda(x)R_{n}(\lambda(x))=A_{n}R_{n+1}(\lambda(x))-(A_{n}+C_{n})R_{n}(\lambda(x))+C_{n}R_{n-1}(\lambda(x)). [/math]

但し、[math]R_{n}(\lambda(x); \gamma, \delta, N)[/math] を [math]R_{n}(\lambda(x))[/math] と略記し、

[math] \begin{align} A_{n}&=(n+\gamma+1)(n-N),\\ C_{n}&=n(n-\delta-N-1) \end{align} [/math]

とした。

差分方程式

次の差分方程式を満たす:

[math] -nR_{n}(\lambda(x))=B(x)R_{n}(\lambda(x+1))-(B(x)+D(x))R_{n}(\lambda(x))+D(x)R_{n}(\lambda(x-1)). [/math]

但し、

[math] \begin{align} B(x)&=\frac{(x+\gamma+1)(x+\gamma+\delta+1)(N-x)}{(2x+\gamma+\delta+1)(2x+\gamma+\delta+2)},\\ D(x)&=\frac{x(x+\gamma+\delta+N+1)(x+\delta)}{(2x+\gamma+\delta)(2x+\gamma+\delta+1)}. \end{align} [/math]

ロドリゲスの公式に相当するもの

ロドリゲスの公式に相当する以下の式を満たす:

[math] \omega(x;\gamma,\delta,N)R_{n}(\lambda(x))=(\gamma+\delta+1)_{n}\left(\frac{\nabla}{\nabla\lambda(x)}^{n}\omega(x;\gamma+n,\delta,N-n)\right). [/math]n

母関数

以下の母関数を持つ:

• [math] (1-t)^{N-x}{_{2}F_{1}}\left(\begin{matrix}-x,-x-\delta\\ \gamma+1\end{matrix}; t \right) =\sum_{n=0}^{N}\frac{(-N)_{n}}{n!}R_{n}(\lambda(x); \gamma, \delta, N)t^{n} [/math]
• [math] (1-t)^{x}{_{2}F_{1}}\left(\begin{matrix}x-N,x+\gamma+1\\ -\delta-N\end{matrix}; t \right) =\sum_{n=0}^{N}\frac{(\gamma+1)_{n}(-N)_{n}}{(-\delta-N)_{n}n!}R_{n}(\lambda(x); \gamma, \delta, N)t^{n} [/math]
• [math] \left[e^{t}{_{2}F_{2}}\left(\begin{matrix}-x,x+\gamma+\delta+1\\ \gamma+1,-N\end{matrix}; -t \right) \right]_{N} =\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{n!}R_{n}(\lambda(x); \gamma, \delta, N)t^{n} [/math]
• [math] \left[(1-t)^{\epsilon}{_{3}F_{2}}\left(\begin{matrix}\epsilon,-x,x+\gamma+\delta+1\\ \gamma+1,-N\end{matrix}; \frac{t}{t-1} \right) \right]_{N} =\sum_{n=0}^{N}\frac{(\epsilon)_{n}}{n!}R_{n}(\lambda(x); \gamma, \delta, N)t^{n}\quad(\forall\epsilon\in\mathbb{R}) [/math]

ハーン多項式との関係

"「ハーン多項式」"

変数 [math]x[/math] と [math]n[/math] を交換することによってハーン多項式 [math]Q_{n}(x;\gamma,\delta,N)[/math] が得られる:

[math] R_{x}(\lambda(n); \gamma, \delta, N)=Q_{n}(x;\gamma,\delta,N). [/math]