ハーン多項式

ハーン多項式（はーんたこうしき、英語: Hahn polynomials）は直交多項式のひとつで、アスキースキームによって体系付けられる。

定義

ハーン多項式は超幾何級数を用いて次のように定義される:

[math] Q_{n}(x; \alpha, \beta, N)={_{3}F_{2}}\left(\begin{matrix}-n, n+\alpha+\beta+1, -x\\\alpha+1, -N\end{matrix}; 1 \right),\quad x = 0, 1, \ldots, N. [/math]

性質

直交関係

[math]\alpha, \beta\lt -1[/math] または [math]\alpha, \beta\lt -N[/math] に対して以下の直交関係を満たす:

[math] \sum_{x=0}^{N}\binom{\alpha+x}{x}\binom{\beta+N-x}{N-x}Q_{m}(x; \alpha, \beta, N)Q_{n}(x; \alpha, \beta, N) =\frac{(-1)^{n}(n+\alpha+\beta+1)_{N+1}(\beta+1)_{n}n!}{(2n+\alpha+\beta+1)(\alpha+1)_{n}(-N)_{n}N!}\delta_{mn}. [/math]

但し、[math](a)_{n}[/math] はポッホハマーの記号を表す。

漸化式

以下の漸化式が成り立つ。

[math] -xQ_{n}(x)=A_{n}Q_{n+1}(x)-(A_{n}+C_{n})Q_{n}(x)+C_{n}Q_{n-1}(x). [/math]

但し、[math]Q_{n}(x; \alpha, \beta, N)[/math] を [math]Q_{n}(x)[/math] と略記し、

[math] \begin{align} A_{n}&=\frac{(n+\alpha+\beta+1)(n+\alpha+1)(N-n)}{(2n+\alpha+\beta+1)(2n+\alpha+\beta+2)},\\ C_{n}&=\frac{n(n+\alpha+\beta+N+1)(n+\beta)}{(2n+\alpha+\beta)(2n+\alpha+\beta+1)} \end{align} [/math]

とした。

差分方程式

次の差分方程式を満たす:

[math] n(n+\alpha+\beta+1)Q_{n}(x)=B(x)Q_{n}(x+1)-(B(x)+D(x))Q_{n}(x)+D(x)Q_{n}(x-1). [/math]

但し、

[math] \begin{align} B(x)&=(x+\alpha+1)(x-N),\\ D(x)&=x(x-\beta-N-1). \end{align} [/math]

ロドリゲスの公式に相当するもの

ロドリゲスの公式に相当する以下の式を満たす:

[math] \omega(x;\alpha,\beta,N)Q_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}(\beta+1)_{n}}{(-N)_{n}}\nabla^{n}\omega(x;\alpha+n,\beta+n,N-n). [/math]

母関数

以下の母関数を持つ:

• [math] {_{1}F_{1}}\left(\begin{matrix}-x\\ \alpha+1\end{matrix}; -t \right) {_{1}F_{1}}\left(\begin{matrix}x-N\\ \beta+1\end{matrix}; t \right) =\sum_{n=0}^{N}\frac{(-N)_{n}}{(\beta+1)_{n}n!}Q_{n}(x;\alpha,\beta,N)t^{n} [/math]
• [math] {_{2}F_{0}}\left(\begin{matrix}-x,-x+\beta+N+1\\ -\end{matrix}; -t \right) {_{2}F_{0}}\left(\begin{matrix}x-N,x+\alpha+1\\ -\end{matrix}; t \right) =\sum_{n=0}^{N}\frac{(-N)_{n}(\alpha+1)_{n}}{n!}Q_{n}(x;\alpha,\beta,N)t^{n} [/math]
• [math] \left[(1-t)^{-\alpha-\beta-1}{_{3}F_{2}}\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}(\alpha+\beta+1),\frac{1}{2}(\alpha+\beta+2),-x\\ \alpha+1,-N\end{matrix}; -\frac{4t}{(1-t)^{2}} \right) \right]_{N} =\sum_{n=0}^{N}\frac{(\alpha+\beta+1)_{n}}{n!}Q_{n}(x;\alpha,\beta,N)t^{n} [/math]

双対ハーン多項式との関係

"「双対ハーン多項式」"

変数 [math]x[/math] と [math]n[/math] を交換することによって双対ハーン多項式 [math]R_{x}(\lambda(n);\alpha,\beta,N)[/math] が得られる:

[math] Q_{x}(n;\alpha,\beta,N)=R_{n}(\lambda(x);\alpha,\beta,N). [/math]