ベルヌーイ分布
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確率質量関数 | |
累積分布関数 | |
母数 | [math]0\lt p\lt 1, p\in\R[/math] |
---|---|
台 | [math]k \in \{0,1\}\,[/math] |
確率質量関数 | [math] \begin{cases} q=(1-p) & \text{for }k=0 \\ p & \text{for }k=1 \end{cases} [/math] |
累積分布関数 | [math] \begin{cases} 0 & \text{for }k\lt 0 \\ 1 - p & \text{for }0\leq k\lt 1 \\ 1 & \text{for }k\geq 1 \end{cases} [/math] |
期待値 | [math] p\,[/math] |
中央値 | [math]\begin{cases} 0 & \text{if } q \gt p\\ 0.5 & \text{if } q=p\\ 1 & \text{if } q\lt p \end{cases}[/math] |
最頻値 | [math]\begin{cases} 0 & \text{if } q \gt p\\ 0, 1 & \text{if } q=p\\ 1 & \text{if } q \lt p \end{cases}[/math] |
分散 | [math]p(1-p) (=pq)\,[/math] |
歪度 | [math]\frac{1-2p}{\sqrt{pq}}[/math] |
尖度 | [math]\frac{1-6pq}{pq}[/math] |
エントロピー | [math]-q\ln(q)-p\ln(p)\,[/math] |
モーメント母関数 | [math]q+pe^t\,[/math] |
特性関数 | [math]q+pe^{it}\,[/math] |
ベルヌーイ分布(英: Bernoulli distribution)とは、数学において、確率 p で 1 を、確率 q = 1 − p で 0 をとる、離散確率分布である。ベルヌーイ分布という名前は、スイスの科学者ヤコブ・ベルヌーイにちなんでつけられた名前である。
Xをベルヌーイ分布に従う確率変数とすれば、
- [math] P(X=1)=p , \qquad P(X=0)=q=1-p [/math]
である。確率変数 X の平均は p, 分散は pq = p(1 − p) である。
ベルヌーイ分布の(離散)確率分布は次のように表される。
- [math]f(k;p) = p^k (1-p)^{1-k}\!\quad \text{for }k\in\{0,1\}[/math].
上式が確率分布であることは、変数[math]k[/math]が0, 1の時の分布の値の和をとることで確かめられる。k = 1 のとき f(1; p) = p, k = 0 のとき f(0; p) = 1 − p なので、和は 1 である。従って、上式は確率分布の定義を満足する。
ベルヌーイ分布は、指数分布族である。