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ベルヌーイ分布

ベルヌーイ分布
確率質量関数
累積分布関数
母数 [math]0\lt p\lt 1, p\in\R[/math]
[math]k \in \{0,1\}\,[/math]
確率質量関数 [math] \begin{cases} q=(1-p) & \text{for }k=0 \\ p & \text{for }k=1 \end{cases} [/math]
累積分布関数 [math] \begin{cases} 0 & \text{for }k\lt 0 \\ 1 - p & \text{for }0\leq k\lt 1 \\ 1 & \text{for }k\geq 1 \end{cases} [/math]
期待値 [math] p\,[/math]
中央値 [math]\begin{cases} 0 & \text{if } q \gt p\\ 0.5 & \text{if } q=p\\ 1 & \text{if } q\lt p \end{cases}[/math]
最頻値 [math]\begin{cases} 0 & \text{if } q \gt p\\ 0, 1 & \text{if } q=p\\ 1 & \text{if } q \lt p \end{cases}[/math]
分散 [math]p(1-p) (=pq)\,[/math]
歪度 [math]\frac{1-2p}{\sqrt{pq}}[/math]
尖度 [math]\frac{1-6pq}{pq}[/math]
エントロピー [math]-q\ln(q)-p\ln(p)\,[/math]
モーメント母関数 [math]q+pe^t\,[/math]
特性関数 [math]q+pe^{it}\,[/math]
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ベルヌーイ分布: Bernoulli distribution)とは、数学において、確率 p で 1 を、確率 q = 1 − p で 0 をとる、離散確率分布である。ベルヌーイ分布という名前は、スイスの科学者ヤコブ・ベルヌーイにちなんでつけられた名前である。

Xをベルヌーイ分布に従う確率変数とすれば、

[math] P(X=1)=p , \qquad P(X=0)=q=1-p [/math]

である。確率変数 X平均p, 分散pq = p(1 − p) である。

ベルヌーイ分布の(離散)確率分布は次のように表される。

[math]f(k;p) = p^k (1-p)^{1-k}\!\quad \text{for }k\in\{0,1\}[/math].

上式が確率分布であることは、変数[math]k[/math]が0, 1の時の分布の値の和をとることで確かめられる。k = 1 のとき f(1; p) = p, k = 0 のとき f(0; p) = 1 − p なので、和は 1 である。従って、上式は確率分布の定義を満足する。

ベルヌーイ分布は、指数分布族である。

関連項目