p-進L-函数

数学では、p-進ゼータ函数 (p-adic zeta function)、あるいはより一般的に p-進 L-函数 (p-adic L-function) とは、リーマンゼータ函数やより一般的なディリクレの L-函数に類似した函数であるが、函数の定義域と値域が p-進的であるものを言う（ここに p は素数である）。p-進 L-函数の定義域は p-進整数環 Z_p や、射有限 p-群、ガロア表現の p-進族であり、像はp-進数体 Q_p もしくはその代数的閉包である。

ディリクレ L-函数

ディリクレ L-函数は、級数

[math]L(s,\chi) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^s} = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-\chi(p)p^{-s}}[/math]

の解析接続として与えられる。負の整数でのディリクレ L-函数の値は、

[math]L(1-n, \chi) = -\frac{B_{n,\chi}}{n}[/math]

である。ここに、B_n,χ は一般化されたベルヌーイ数であり、導手 f を持つディリクレ指標 χ に対し、

[math] \displaystyle \sum_{n=0}^\infty B_{n,\chi}\frac{t^n}{n!} = \sum_{a=1}^f\frac{\chi(a)te^{at}}{e^{ft}-1}[/math]

で定義される。

補完を使った定義

久保田-レオポルドの p-進 L-函数 L_p(s, χ) は、p でのオイラー因子を取り除いたディリクレのL-函数を補完する。さらに詳しくは、L_p(s, χ) は p-進数 s の連続函数であり、p − 1 により割ることのできる正の整数 n に対し

[math] \displaystyle L_p(1-n, \chi) = (1-\chi(p)p^{n-1})L(1-n, \chi)[/math]

となる唯一のものである。この式の右辺はまさに通常のディリクレの L-函数から、p でのオイラー因子を取り除いたものである。また、 p でのオイラー因子を取り除かない 場合には、右辺は p-進的に連続とはならない。右辺の連続性は密接にクンマー合同(Kummer congruence)と関連している。

n が p − 1 により割れない場合は、一般的にこのことは成立しない。代わりに、正の整数 n に対し、

[math] \displaystyle L_p(1-n, \chi) = (1-\chi\omega^{-n}(p)p^{n-1})L(1-n, \chi\omega^{-n})[/math]

が成り立つ。ここに χ はタイヒミューラー指標(Teichmüller character) ω のべきによりツイストされている。

p-進測度と見なすと

p-進L-函数はまた、p-射有限ガロア群上のp-進測度(p-adic measures)（あるいは、p-進分布(p-adic distributions)）とも考えることができる。この観点と久保田・レオポルトの観点との間の変換は（Z_p 上の Q_p-値を持つ函数として）、メイザー・メリン変換(Mazur–Mellin transform)（と類体論）を経由する。

総実体

Deligne & Ribet (1980) では、前に行われている Serre (1973) に立脚し、総実体の解析的 p-進L-函数を構成した。Barsky (1978) と Cassou-Noguès (1979)は独立に同じ結果を導き出したが、このアプローチは、新谷卓郎の L-値の研究のアプローチに従っている。

参考文献

• Barsky, Daniel (1978), “Fonctions zeta p-adiques d'une classe de rayon des corps de nombres totalement réels”, in Amice, Y.; Barskey, D.; Robba, P., Groupe d'Etude d'Analyse Ultramétrique (5e année: 1977/78), 16, Paris: Secrétariat Math., ISBN 978-2-85926-266-2, MR 525346, http://www.numdam.org/item?id=GAU_1977-1978__5__A9_0 
• Cassou-Noguès, Pierrette (1979), “Valeurs aux entiers négatifs des fonctions zêta et fonctions zêta p-adiques”, Inventiones Mathematicae 51 (1): 29–59, doi:10.1007/BF01389911, ISSN 0020-9910, MR 524276 
• Coates, John (1989), “On p-adic L-functions”, Astérisque (177): 33–59, ISSN 0303-1179, MR 1040567, http://www.numdam.org/item?id=SB_1988-1989__31__33_0 
• Colmez, Pierre (2004), Fontaine's rings and p-adic L-functions, http://www.math.jussieu.fr/~colmez/tsinghua.pdf 
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• Iwasawa, Kenkichi (1969), “On p-adic L-functions”, Annals of Mathematics. Second Series (Annals of Mathematics) 89 (1): 198–205, doi:10.2307/1970817, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970817, MR 0269627, http://jstor.org/stable/1970817 
• Iwasawa, Kenkichi (1972), Lectures on p-adic L-functions, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08112-0, MR 0360526 
• Katz, Nicholas M. (1975), “p-adic L-functions via moduli of elliptic curves”, Algebraic geometry, Proc. Sympos. Pure Math.,, 29, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 479–506, MR 0432649 
• Koblitz, Neal (1984), p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Graduate Texts in Mathematics, vol. 58, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96017-3, MR 754003 
• Kubota, Tomio; Leopoldt, Heinrich-Wolfgang (1964), “Eine p-adische Theorie der Zetawerte. I. Einführung der p-adischen Dirichletschen L-Funktionen”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 214/215: 328–339, ISSN 0075-4102, MR 0163900, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?GDZPPN002180626 
• Serre, Jean-Pierre (1973), “Formes modulaires et fonctions zêta p-adiques”, in Kuyk, Willem; Serre, Jean-Pierre, Modular functions of one variable, III (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, 1972), Lecture Notes in Math, 350, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 191–268, doi:10.1007/978-3-540-37802-0_4, ISBN 978-3-540-06483-1, MR 0404145