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電束密度


電束密度
electric flux density
量記号 D
次元 T I L−2
種類 ベクトル
SI単位 クーロン平方メートル(C m−2
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電束密度(でんそくみつど、英語: electric flux density)は、電荷の存在によって生じるベクトル場である。 電気変位electric displacement)とも呼ばれる。電場の強度は電荷にを及ぼす場であり、電束密度とは由来が全く異なる場であるが、真空においては普遍定数により結び付けられてその違いが現れない。誘電体を考える場合には両者の違いが現れるが、誘電体を真空における電荷の分布であると考えることで、電束密度をあらわに用いる必要はなくなる。SIにおける単位はクーロン平方メートル(記号: C m−2)が用いられる。

定義

電束密度はガウスの法則によって定義される。 すなわち、ある領域 V を考え、その境界を ∂V とする。領域 V の内部の電荷を QV とするとき、電束密度 D

[math]\oint_{\partial V} \boldsymbol{D}\cdot d\boldsymbol{S} =\alpha Q_V[/math]

を満たすベクトル場として定義される。有理化係数 α は、SIに代表される有理系において α=1ガウス単位系に代表される非有理系では α=4π である。


発散定理により左辺は

[math]\oint_{\partial V} \boldsymbol{D}\cdot d\boldsymbol{S} =\int_V \nabla\cdot\boldsymbol{D}\, dV[/math]

と変形されて

[math]\int_V \nabla\cdot\boldsymbol{D}\, dV =\alpha Q_V[/math]

となる。ここで領域を小さくする極限 V→0 を考えると

[math]\nabla\cdot\boldsymbol{D} =\alpha \rho[/math]

となり、ガウスの法則を微分により表すことができる。ここで電荷密度

[math]\rho =\lim_{V\to 0} \frac{Q_V}{V}[/math]

である。

電場の強度との関係

真空中

真空中においては電場の強度 E

[math]\boldsymbol{D} =\epsilon_0 \boldsymbol{E}[/math]

によって関係付けられる。比例係数 ε0 は電気定数(真空の誘電率)と呼ばれる物理定数である。

誘電体中

誘電体が存在する場合には真空中での関係は成り立たず、電場の強度と電束密度の両方を考える必要がある。このとき二つの量は誘電分極 P を通して

[math]\boldsymbol{D} =\epsilon_0 \boldsymbol{E} +\alpha \boldsymbol{P}[/math]

として関係付けられる。 電場の強度と電束密度の間に線形関係を仮定することにより誘電率を用いて

[math]\boldsymbol{D} =\epsilon \boldsymbol{E}[/math]

と表すことができる。 線形関係を仮定しない場合は積分により

[math]\boldsymbol{D} =\int \epsilon\, d\boldsymbol{E}[/math]

となる。より一般には磁場との交叉項やヒステリシスを考える必要がある。

誘電体

微分によって表したガウスの法則に真空における電束密度と電場の強度の関係を代入すれば

[math]\nabla\cdot \boldsymbol{E} =\frac{\alpha}{\epsilon_0} \rho_0[/math]

となる。電荷密度の添え字 0 は真空に分布する電荷密度であることを意味している。

一方、誘電体が存在する場合に誘電分極の定義式を代入すれば

[math]\nabla\cdot \boldsymbol{D} =\nabla\cdot (\epsilon_0\boldsymbol{E} +\alpha \boldsymbol{P}) =\alpha\rho[/math]

[math]\nabla\cdot \boldsymbol{E} =\frac{\alpha}{\epsilon_0} (\rho -\nabla\cdot \boldsymbol{P})[/math]

となり、真空における関係式と比較すれば

[math]\rho_0 =\rho +\rho_P[/math]

である。ここで導入した誘電分極 P による電荷密度

[math]\rho_P =-\nabla\cdot \boldsymbol{P}[/math]

分極電荷密度と呼ばれる。分極電荷密度と対比して ρ は真電荷密度と呼ばれる。

誘電体も原子核電子などの荷電粒子から構成されており、ρ0 を用いることは誘電体を真空に分布する荷電粒子の集まりであると考えていることに相当する。現実には全ての原子核や電子の運動の様子を知ることは不可能である。仮に全ての運動が分かったとしても、そこから誘電体としての性質を知ることはやはり困難である。

真電荷密度 ρ は誘電体を誘電体として扱える程度のスケールでの平均値、すなわち

[math]\rho =\frac{Q_{\Delta V}}{\Delta V} =\frac{1}{\Delta V} \int_{\Delta V} \rho_0 dV[/math]

である。体積 ΔV は十分小さいが、誘電体が誘電体として振る舞う程度に原子核や電子を含む。 導電を担う自由電子がなく、電子が原子核に束縛されている誘電体の内部においては、通常は正負の電荷が相殺されて真電荷密度は存在しない。分極電荷密度は ΔV より小さなスケールでの電荷密度であり、誘電分極により生じるわずかな電荷の分布の偏りを表す。