消去算

消去算（しょうきょざん）は、いくつかのわからない数を、式を操作することにより、その数を求めようという種類の問題。中学1年生で習う連立一次方程式の小学生版と考えるべきである。小学校の算数における有名な問題の一つ。中学入試では頻出。

例題

今朝はとても寒かったので、ケン先生は塾のみんなのために肉まんとあんまんと春雨まんを買っていくことにしました。そのところ、

• 肉まん7個・あんまん7個・春雨まん2個、買うと、1655円
• 肉まん8個・あんまん4個・春雨まん4個、買うと、1740円
• 肉まん9個・あんまん2個・春雨まん5個、買うと、1788円

になります。結局、肉まん8個・あんまん4個・春雨まん4個買っていったケン先生ですが、肉まんとあんまんと春雨まんのそれぞれの値段はいくらでしたか。

解答例

問題文より次の三つの式を導く。

• 肉×7+あん×7+春×2=1655（円）・・・(1)
• 肉×8+あん×4+春×4=1740（円）・・・(2)
• 肉×9+あん×2+春×5=1788（円）・・・(3)

(1)と(2)の式を操作する。

• (1)の式を2倍して、肉×14+あん×14+春×4=3310・・・(1)´
• (1)´の式から(2)の式を引くと、肉×6+あん×10=1570・・・(4)が導かれる。（こうすると、「春雨まん」が考慮のうちから消去される。これが消去算という名称の由来。）

次に、(2)と(3)から、春雨まんを消去した式を導く（(1)と(3)でもよい）。

• (2)×5 - (3)×4=肉×4+あん×12=1548・・・(5)

(4)と(5)の式から、肉まんとあんまんの値段を求める。

• (4)×6 - (5)×5=肉×16=1680
• よって肉まん一つの値段は、（1680÷16）円=105円
• 肉×1=105であることから、(4)の式より、肉×6+あん×10=105×6+あん×10=1570
• よってあんまん一つの値段は、｛（1570-105×6）÷10｝円=94円

肉×1=105、あん×1=94であるから、

• (1)の式より、105×7+94×7+春×2=735+658+春×2=1655
• よって春雨まん一つの値段は、｛（1655-735-658）÷2｝円=131円

答え：肉まん：105円、あんまん94円、春雨まん131円

解答例2

肉まん2個・あんまん1個・春雨まん1個、買うと、1740円÷4＝435円　なので、

肉まん3個・あんまん5個、買うと、1655円－435円×2＝785円
肉まん1個・あんまん3個、買うと、435円×5－1788円＝387円
　 あんまん4個で、387円×3－785円＝376円
　　 あんまん1個で、376円÷4＝94円
肉まん1個で、387円－94円×3＝105円
春雨まん1個で、435円－105円×2－94＝131円

答え：肉まん105円、あんまん94円、春雨まん131円

連立一次方程式を利用する

連立一次方程式を利用するならば、肉まん・あんまん・春雨まんのそれぞれの値段を、x, y, zとおいて、式を立てればよい。基本的には消去算と変わりはないが、こちらの方が解答は簡潔に書けるだろう。ただ、方程式は中学校以降の数学の範囲であるから、小学校の算数の範囲では教えられない、という事情がある。