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平方三角数

平方三角数(へいほうさんかくすう、: square triangular number)は平方数のうち三角数でもある自然数である。例えば 36 は6番目の平方数 62 であり、また8番目の三角数 8(8+1)/2 でもあるので平方三角数である。平方三角数は無数にあり、最小のものは1である。

平方三角数を小さい順に列記すると

1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, …(オンライン整数列大辞典の数列 A1110

となる。

k番目の平方三角数 Nk

[math] N_k = {1 \over 32} \left( \left( 1 + \sqrt{2} \right)^{2k} - \left( 1 - \sqrt{2} \right)^{2k} \right)^2 [/math]

で与えられる。この公式は、1778年にオイラーが発見している[1][2][3]

公式の導出

ある自然数 Nn番目の三角数かつm番目の四角数であるとすると、

[math]\frac{1}{2}n(n+1)=m^2[/math]

である。両辺を8倍して平方完成することにより (2n + 1)2 = 8m2 + 1 となる。x = 2n + 1, y = 2m とおけば、ペル方程式 x2 - 2y2 = 1 を得る。その一般解 (xk, yk) は

[math]x_k \pm y_k\sqrt{2}=(1 \pm \sqrt{2})^{2k}[/math]

で与えられ、よって

[math]x_k=\frac{(1+\sqrt{2})^{2k}+(1-\sqrt{2})^{2k}}{2}[/math]
[math]y_k=\frac{(1+\sqrt{2})^{2k}-(1-\sqrt{2})^{2k}}{2\sqrt{2}}[/math]

である。したがって、k番目の平方三角数 Nk = (yk/2)2 は冒頭の式で与えられる。

その他の性質

Nk は漸化式

[math]N_0=0,\quad N_1=1,\quad N_{k+2}=34N_{k+1}-N_k+2[/math]

を満たす。その母関数

[math]\frac{x(x+1)}{(1-x)(1-34x+x^2)}=x+36x^2+1225x^3+\cdots[/math]

で与えられる。

脚注

  1. Dickson 2005a, p. 16
  2. Dickson 2005b, pp. 10, 16, 27
  3. Euler 1813, pp. 12–13

参考文献

関連項目

外部リンク