巡回多元環

数学、とくに代数的整数論において、巡回多元環（じゅんかいたげんかん、英: cyclic algebra）とは、体の巡回拡大から構成される中心的単純環の一種で、四元数環の一般化。

定義

体の n 次巡回拡大 L/K に対し、そのガロア群 Gal(L/K) の生成元を σ とし、β ∈ K^× をとる。β, σ の定める K 上の巡回多元環 (β, L/K, σ) は、n 個の文字 {j⁰, j¹, j², …, jⁿ⁻¹} を基底に持つ n 次元 L-ベクトル空間 A = Lj⁰ ⊕ Lj¹ ⊕ ⋯ ⊕ Ljⁿ⁻¹ (⊕ は直和) を台となる線型空間とし、A に乗法を一般の元

[math]x = \sum_{k=0}^{n-1} x_k j^k, y = \sum_{k=0}^{n-1} y_k j^k \ (x_k,\, y_k\in L)[/math]

に対して

[math]xy = \sum_{k=0}^{n-1}\sum_{l=0}^{n-1}x_k \sigma^k(y_l) j^{k+l}\quad(\text{where }j^n=\beta\in K^\times)[/math]

と定めたものである。これは j = j¹ に対する以下の二条件

• 指数法則 j^k ⋅ j^l = j^k+l を満たす。
• λ ∈ L に対し交換則 j ⋅ x = σ(x)⋅j を満たす。

を線型に拡張したものとして与えられる。特に、j⁰ = 1_A は A の乗法単位元（したがって、L = Lj⁰ ⊂ A）。また、σ は K の元を動かさない L の非自明な自己同型であるから、K の元は j と可換。これにより A = (β, L/K, σ) が K 上中心的であることが従う。

性質

• n 次巡回拡大 L/K から定まる n 次巡回多元環の K 上の次数は n² である。
• 巡回多元環 (β, L/K, σ) は K 上の中心的単純環で L で分解する。すなわち、n次巡回多元環 (β, L/K, σ) と L との K-多元環のテンソル積は L 上 n 次の全行列環 Mat(n, L) に L-多元環同型: [math](\beta, L/K, \sigma) \otimes_K L \simeq \operatorname{Mat}(n,L)[/math] である。
• K の標数が 2 でないものとすると、二次の巡回多元環 (β, K(テンプレート:Radic)/K, σ) は (α, β)-型四元数環である。ただし、α は K の平方元でなく、σ は σ(テンプレート:Radic) = −テンプレート:Radic を満たす K-同型。

一般化

巡回多元環は、2-コサイクル（因子団）に対する接合積 (crossed product algebra) と呼ばれる多元環に一般化される。

関連項目

• 群環
• ブラウアー群