単因子

代数学において、行列の単因子（たんいんし、英: elementary divisors, invariant factors）とは、その「標準形」を定める不変量のことである。

定義

D を単項イデアル整域（たとえば整数環や体係数の 1 変数多項式環などのユークリッド整域）とする。また M_n×m(D) を D 成分の n×m 行列全体とする。すべての行列 A ∈ M_n×m(D) は、ある可逆行列 P ∈ M_n×n(D) と Q ∈ M_m×m(D) を使って次の形に変形できる。

[math] PAQ = \begin{pmatrix} e_1 & & & & \\ & \ddots & & & \\ & & e_r & & \\ & & & 0 & \\ & & & & \ddots \end{pmatrix} [/math]

ここで e₁, …, e_r ≠ 0 かつ e₁D ⊇ … ⊇ e_rD である。このような e₁, …, e_r は単数倍を除いて一意に定まり、これを行列 A の単因子 という。 この行列 P, Q は行列の基本変形をして求めることができる。

性質

F を体とする。

• 行列 A, B ∈ M_n×n(F) が相似である必要十分条件は行列 xI − A, xI − B ∈ M_n×n(F[x]) の単因子が一致することである。

• 行列 A ∈ M_n×n(F) の最小多項式は行列 xI − A ∈ M_n×n(F[x]) の最大次数の単因子（を規格化したもの）と一致する。

例

D を複素数係数の 1 変数多項式環 C[x] とする。次の行列 A ∈ M_2×2(C[x]) の単因子は可逆行列 P, Q ∈ M_2×2(C[x]) として以下の行列を取れば 1, (x − λ)² とわかる。

[math] A = \begin{pmatrix} x - \lambda & -1 \\ & x - \lambda \end{pmatrix} [/math]

[math] P = \begin{pmatrix} 1 & \\ x - \lambda & 1 \end{pmatrix}, \qquad Q = \begin{pmatrix} 1 & \\ x - \lambda & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} & 1 \\ -1 & \end{pmatrix} [/math]

[math] PAQ = \begin{pmatrix} 1 & \\ & (x - \lambda)^2 \end{pmatrix} [/math]

参考文献

• (2009) Basic Algebra I, Second, Dover. ISBN 978-0-486-47189-1. 
• 『線型代数入門』 東京大学出版会、1966年、初版。ISBN 978-4-13-062001-7。

関連項目

• 有限生成アーベル群の基本定理
• ジョルダン標準形
• 主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理

外部リンク

• Weisstein, Eric W. “Invariant Factor”. MathWorld（英語）.