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最小多項式 (線型代数学)


線型代数学において、 F 係数の n × n 行列 AF 上の最小多項式(さいしょうたこうしき、: minimal polynomial)とは、F-係数のモニック多項式 p(x) であって、p(A) が零行列となるようなものの中で次数最小のものを言う。q(A) = 0 となる F-係数多項式 q(x) は最小多項式 p(x) で割り切れる。

次の3つの主張は同値である:

  1. λ ∈ F は、A の最小多項式 p(x) の根である。
  2. λ ∈ F は、A固有多項式の根である。
  3. λ ∈ F は、A固有値である。

A の最小多項式 p(x) における根 λ の重複度は、λ に対応する A のジョルダン細胞の最大次数を表す。

一般に、最小多項式は固有多項式と一致するとは限らない。例えば、4In を考える。(Inn 次単位行列。)この行列の固有多項式は (x − 4)n である。一方、4In − 4In = 0 であることから、最小多項式は x − 4 である。従って、n ≥ 2 ならば、4In の最小多項式と固有多項式は一致しない。

ケーリー・ハミルトンの定理と上の注意により、最小多項式は常に固有多項式を割り切ることが従う。

定義

F 上の有限次元ベクトル空間 V 上の線型変換 T に対し、

[math]I_T=\{p \in \mathbf{F}[x] \mid p(T)=0\}[/math]

とおく。ここで F[x] は、F 上の一変数多項式環を表す。[math]I_T[/math] は、F[x] の真のイデアルとなる。F は体だから F[x] は主イデアル整域であり、任意のイデアルは F の単元倍を除いて一意的な1つの多項式によって生成される。したがってとくに IT の生成元としてモニックな多項式をとることができ、これを T最小多項式と言う。最小多項式は、[math]I_T[/math] 中のモニック多項式の中で次数が最小のものである。

応用

V 上の線型変換 T が対角化可能であることと、すべてのジョルダン細胞の次数が1であることとが同値である。従って、体 F 上の有限次元ベクトル空間 V の線型変換 T が対角化可能であるための必要十分条件は、T の最小多項式が F 上で一次式の積に分解し、すべての根の重複度が1であることである。

計算法の一例

F 上のベクトル空間 V とその線型変換 T および V の元 v に対して、

[math] I_{T, v} = \{ p \in \mathbf{F}[t] \mid v \in \operatorname{Ker} p(T) \} = \{ p \in \mathbf{F}[t] \mid p(T)(v) = 0 \}[/math]

と定義する。これは、F[t] の自明でないイデアルとなる。[math]\mu_{T,v}[/math] を、このイデアルを生成するモニック多項式とする。

この多項式は次の性質を満たす。

  • [math]I_{T, v}[/math][math]I_T[/math] を含む。
  • [math]d[/math] を、[math]v, T(v), \ldots, T^d(v)[/math]線型独立となるような最大の自然数とする。このとき、 ある [math]\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n \in \mathbf{F}[/math] が存在して、
[math] \alpha_0 v + \alpha_1 T(v) + \dotsb + \alpha_n T^d (v) + T^{d+1} (v) = 0[/math]
が成り立ち、さらに
[math] \mu_{T,v} (t) = \alpha_0 + \alpha_1 t + \dotsb + \alpha_n t^d + t^{d+1}[/math]
となる。
  • V のひとつの基底 {v1, ..., vn} を取ったとき、T の最小多項式は、すべての [math]\mu_{T,v_i}[/math] たちの公約元である。

関連項目

参考文献

  • 線型代数入門』 東京大学出版会〈基礎数学1〉、1966年、初版。ISBN 978-4-13-062001-7。
  • Lang, Serge (2002). Algebra, 3rd rev., Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag. ISBN 978-1-4613-0041-0. 

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