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再生性

確率分布の族における再生性(さいせいせい、: reproductive property)とは、同じ分布族に含まれる確率分布を持つ2つの独立な確率変数に対して、その和の確率分布もまた同じ族に含まれる性質のことを言う。

定義

分布族[math]\mathbb{F}[/math]を考える。

任意の確率分布[math]F_1, F_2 \in \mathbb{F}[/math]に対して、Fiに従う互いに独立な確率変数をXiとおく ([math]i=1,2[/math]) 。これを[math]X_i \sim F_i[/math]と書く(以下同様)。

このとき、[math]X_1 + X_2[/math]の確率分布F[math]F \in \mathbb{F}[/math]を満たすならば、分布族[math]\mathbb{F}[/math]再生性を持つという。

ある分布族が再生性を持つということは、その分布族が畳み込み演算について閉じていることを意味する。

再生性を持つ分布族

以下で用いられる2つの確率変数X1X2は互いに独立であると仮定する。

正規分布
[math]X_i \sim \mbox{N}(\mu_i, \ \sigma_i^2) \ (i = 1, 2) \longrightarrow X_1 + X_2 \sim \mbox{N}(\mu_1 + \mu_2, \ \sigma_1^2 + \sigma_2^2)[/math]
コーシー分布
コーシー分布に従う2つの確率変数の和は、再びコーシー分布に従う。
ガンマ分布
[math]X_i \sim \mbox{Gamma}(k_i, \theta) \ (i = 1, 2) \longrightarrow X_1 + X_2 \sim \mbox{Gamma}(k_1 + k_2, \ \theta)[/math]
尺度母数θが異なる場合は当てはまらない。
特に[math]k_1, k_2[/math]が整数である場合はアーラン分布を表し、このことからアーラン分布も再生性を持つことが分かる。同様に、[math]k_1, k_2[/math]が半整数である場合はカイ二乗分布に相当し、同様に再生性を持つ。
二項分布
[math]X_i \sim \mbox{B}(n_i, p) \ (i = 1, 2) \longrightarrow X_1 + X_2 \sim \mbox{B}(n_1 + n_2, \ p)[/math]
確率pが異なる場合は当てはまらない。

負の二項分布

[math]X_i \thicksim \mbox{NB}(\alpha_i ,p) (i=1,2) \longrightarrow X_1+X_2 \thicksim \mbox{NB}(\alpha_1+\alpha_2 ,p)[/math]
確率pが異なる場合は当てはまらない。

ポアソン分布

[math]X_i \sim \mbox{Po}(\lambda_i) \ (i = 1, 2) \ \longrightarrow X_1 + X_2 \sim \mbox{Po}(\lambda_1 + \lambda_2)[/math]

カイ二乗分布

[math]X_1 \sim \chi^2_n,X_2 \sim \chi^2_m\ (n,m \in\mathbb{N}) \ \longrightarrow X_1 + X_2 \sim \chi^2_{n+m}[/math]

関連項目