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ローレンツ力


ローレンツ力(ローレンツりょく、: Lorentz force)は、電磁場中で運動する荷電粒子が受けるのことである。 名前はヘンドリック・ローレンツに由来する。

概要

電場 [math]\boldsymbol{E}(t,\boldsymbol{x})[/math]磁束密度磁場[math]\boldsymbol{B}(t,\boldsymbol{x})[/math] の空間中を運動する荷電粒子(位置 [math]\boldsymbol{r}(t)[/math]速度 [math]\boldsymbol{v}(t)[/math]電荷 q)に作用する電磁気的な力 [math]\boldsymbol{F}[/math]

[math]\boldsymbol{F}(t) = q\boldsymbol{E}(t,\boldsymbol{r}(t)) +q\boldsymbol{v}(t) \times \boldsymbol{B}(t,\boldsymbol{r}(t))[/math]

である。この [math]\boldsymbol{F}[/math]ローレンツ力と言う。 × はクロス積である。

上式で右辺第一項は電場中で荷電粒子が受ける力でありクーロン力とも呼ばれる。 第二項はビオ=サバールの法則を一般化した形となっている。 ここで荷電粒子が加速度運動している(ローレンツ力によっても加速度運動となっている)とすると、その荷電粒子自身による電磁場の効果が存在するが、その影響はごく小さい場合が多いので通常は無視されるか、ごく小さなものとして扱われる。

[math]\boldsymbol{\mathit{F}} = q(\boldsymbol{\mathit{v}}\times\boldsymbol{\mathit{B}})[/math]

と近似することができる。

荷電粒子の速度 v磁場 Bクロス積ローレンツ力 F であることは、フレミング左手の法則で向きを確認できる。

ローレンツ力と仕事

ローレンツ力のする仕事は

[math] \begin{align} dW &= \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r} \\ &= q (\boldsymbol{E} +\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})\cdot d\boldsymbol{r} \\ \end{align} [/math]

である。 ここで、磁場による力の項は、

[math] \begin{align} dW_m &= q (\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})\cdot d\boldsymbol{r} \\ &= q \boldsymbol{v} \cdot (\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})dt = 0 \\ \end{align} [/math]

であり、磁場は仕事をしない。ここで v = dr/dt を用いた。

電場による力の項は、

[math] \begin{align} dW_e &= q \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{r} \\ &= q \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{E} dt = w\, dt \\ \end{align} [/math]

である。この電場による仕事量は、巨視的に見るとジュール熱に相当する。

磁場による力は速度と直交する方向に生じるので、運動の向きを変えるだけで粒子の運動エネルギーは変化しない。エネルギーの移動は電場により生じている。

ローレンツ力と電磁力

電荷 qi の時刻 t における位置を ri、速度を viとすると、電荷密度 ρ 、電流密度 j は、

[math]\rho(t, \boldsymbol{x}) = \sum_i q_i \delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{r}_i(t))[/math]

[math]\boldsymbol{j}(t, \boldsymbol{x}) = \sum_i q_i \boldsymbol{v}_i(t) \delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{r}_i(t))[/math]

と表すことができる。δ(x)はディラックのデルタ関数である。

ローレンツ力は多数の粒子系に対しては

[math]\boldsymbol{F}(t) = \sum_i q_i \left( \boldsymbol{E}(t, \boldsymbol{r}_i(t)) + \boldsymbol{v}_i(t) \times \boldsymbol{B}(t, \boldsymbol{r}_i(t)) \right)[/math]

となる。ここで、

[math]\boldsymbol{E}(t, \boldsymbol{r}_i(t)) = \int \!\! d^3x\, \delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{r}_i(t)) \boldsymbol{E}(t, \boldsymbol{x})[/math]

[math]\boldsymbol{B}(t, \boldsymbol{r}_i(t)) = \int \!\! d^3x\, \delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{r}_i(t)) \boldsymbol{B}(t, \boldsymbol{x})[/math]

として、和と積分を入れ替えると、

[math]\boldsymbol{F}(t) = \int \!\! d^3x\, \left( \rho(t, \boldsymbol{x}) \boldsymbol{E}(t, \boldsymbol{x}) + \boldsymbol{j}(t, \boldsymbol{x}) \times \boldsymbol{B}(t, \boldsymbol{x}) \right)[/math]

このようにミクロな粒子に作用する力(ローレンツ力)から、マクロな粒子系に作用する力(クーロン力及びアンペール力)が導かれた。

相対論的な表示

ローレンツ力を相対論的に記述すると

[math]\dot{p}_\mu = q\dot{z}^\nu F_{\nu\mu}(z)[/math]

となる。 ここで z=(ct,r) は粒子の相対論的な位置、p=(E/c,p) は粒子の相対論的な運動量、ドットは運動のパラメータによる微分である。 F は電場と磁場を合わせた電磁テンソルで、具体的には

[math](F_{01}, F_{02}, F_{03}) =(E_1/c, E_2/c, E_3/c),~ (F_{32}, F_{13}, F_{21}) =(B_1, B_2, B_3)[/math]

と表される。

位置の微分は非相対論的な速度 v によって

[math]\dot{z}^\mu = (c\dot{t}, \dot{t}\boldsymbol{v})[/math]

と表される。 従って、この式の空間成分は

[math]\dot{\boldsymbol{p}} =q\dot{t} \boldsymbol{E}(t,\boldsymbol{r}) +q\dot{t}\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}(t,\boldsymbol{r})[/math]

となる。非相対論的な力 f

[math]\boldsymbol{f} =\frac{d\boldsymbol{p}}{dt} = \frac{\dot{\boldsymbol{p}}}{\dot{t}} = q\boldsymbol{E}(t,\boldsymbol{r}) +q\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}(t,\boldsymbol{r})[/math]

となる。

ローレンツ力の向き

ローレンツ力:

[math]\boldsymbol{\mathit{F}} = q(\boldsymbol{\mathit{v}}\times\boldsymbol{\mathit{B}})[/math]

の向きを示すフレミングの左手の法則がある。

また、右手の姿で示す方法もある。

関連項目