リースポテンシャル

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数学におけるリースポテンシャル（英: Riesz potential）とは、その発見者であるハンガリーの数学者マルツェル・リースの名にちなむ、あるポテンシャルのことを言う。リースポテンシャルは、ユークリッド空間上のラプラス作用素の冪に対する逆を、ある意味において定義するものである。一変数のリーマン＝リウヴィル積分（English版）は複数変数へと一般化される。

0 < α < n であるとき、Rn 上の局所可積分函数 f のリースポテンシャル Iαf は、次式で定義される。

テンプレート:NumBlk

ただしこの定数は次で与えられる。

[math]c_\alpha = \pi^{n/2}2^\alpha\frac{\Gamma(\alpha/2)}{\Gamma((n-\alpha)/2)}.[/math]

この特異積分（English版）は、f が無限大において十分急速に減衰する場合、well-defined となる。特に 1 ≤ p < n/α に対して f ∈ Lp(Rn)であるときに、well-defined となる。p > 1 であるなら、f の減衰率と Iαf の減衰率は不等式（ハーディ＝リトルウッド=ソボレフ不等式（English版））

[math]\|I_\alpha f\|_{p^*} \le C_p \|f\|_p,\quad p^*=\frac{np}{n-\alpha p} [/math]

によって関連付けられる。より一般に作用素 Iα は、0 < Re α < n を満たす複素数 α に対して well-defined である。

リースポテンシャルは、次の畳み込みとして、より一般に弱い意味で定義することが出来る：

[math]I_\alpha f = f*K_\alpha. \,[/math]

ここで Kα は局所可積分函数

[math]K_\alpha(x) = \frac{1}{c_\alpha}\frac{1}{|x|^{n-\alpha}} [/math]

である。したがってリースポテンシャルは、f がコンパクトな台を持つ超函数である時はいつでも定義される。この点に関し、コンパクトな台を持つある正のボレル測度 μ のリースポテンシャルは、Iαμ がその μ の台を除く（連続な）劣調和函数であり、Rn 全体で下半連続であることから、ポテンシャル論における主要な興味を集めるものとなっている。

フーリエ変換を考えることで、リースポテンシャルはフーリエ乗数（English版）であることが分かる。実際、

[math]\widehat{K_\alpha}(\xi) = |2\pi\xi|^{-\alpha}[/math]

であるので、畳み込み定理より

[math]\widehat{I_\alpha f}(\xi) = |2\pi\xi|^{-\alpha} \hat{f}(\xi) [/math]

が得られる。

リースポテンシャルは、例えば急減少函数に対し、次の半群性を満たす：

[math]I_\alpha I_\beta = I_{\alpha+\beta}.\ [/math]

ただし

[math]0 \lt \operatorname{Re\,} \alpha, \operatorname{Re\,} \beta \lt n,\quad 0 \lt \operatorname{Re\,} (\alpha+\beta) \lt n [/math]

が満たされているものとする。さらに、2 < Re α <n であるなら

[math]\Delta I_{\alpha+2} = -I_\alpha \ [/math]

が成立する。また、この函数のクラスに対しては

[math]\lim_{\alpha\to 0^+} (I^\alpha f)(x) = f(x) [/math]

が成立する。

関連項目

参考文献



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