ランプ関数

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ランプ関数（英: ramp function）とは、一変数の実関数であり、独立変数とその絶対値の平均として容易に求められる。区分線形関数。

この関数は工学において（DSPの理論など）応用を持つ。"ramp function"の名は、グラフの形状が傾斜路（英: ramp）に似ていることに由来する。

定義

ランプ関数 R(x) : R → R には幾つかの同値な定義が存在する。

• 場合分け

  [math]R(x) := \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ 0, & x\lt 0 \end{cases}[/math]

• 指数 1 の切断冪関数

  [math]R(x) := x_{+}[/math]

• 最大値関数

  [math]R(x) := \max(x,0)[/math]

• 傾きが1の直線とその絶対値との平均

  [math]R(x) := \frac{x+|x|}{2}[/math]

• 傾きが1の直線とヘビサイド関数との積

  [math]R\left( x \right) := xH\left( x \right)[/math]

• ヘビサイド関数とそれ自身の畳み込み

  [math]R\left( x \right) := H\left( x \right) * H\left( x \right)[/math]

• ヘビサイド関数の積分

  [math]R(x) := \int_{-\infty}^{x} H(\xi)\mathrm{d}\xi[/math]

• マコーレーの括弧

  [math]R(x) := \langle x\rangle[/math]

解析的性質

非負性

ランプ関数は定義域全体で非負となる。

[math]\forall x \in \bold{R} : R(x) \geq 0[/math]

そのため、関数の値はその絶対値に等しい。

[math]|R(x)| = R(x)[/math]

導関数

ランプ関数の導関数はヘビサイド関数に等しい。

[math]R'(x) = H(x)\ \mathrm{if}\ x \ne 0[/math]

二階導関数

ランプ関数は次の微分方程式を満たす。但し δ(x) はディラックのデルタ関数である。

[math] \frac{\operatorname{d}^2}{\operatorname{d} x^2} R(x - x_0) = \delta(x - x_0)[/math]

これは、R(x) が二階微分作用素のグリーン関数であることを意味する。これにより、可積分な二階導関数 f′′(x) を持つ任意の関数 f(x) は、a < x < b のとき次の方程式を満たす。

[math] f(x) = f(a) + (x-a) f'(a) + \int_{a}^b R(x - s) f''(s) \operatorname{d} s[/math]

フーリエ変換

ランプ関数のフーリエ変換は次の通りとなる。

[math] \mathcal{F}\left\{ R(x) \right\}(f) [/math] [math] = [/math] [math] \int_{-\infty}^{\infty}R(x) e^{-2\pi ifx}dx [/math] [math] = [/math] [math] \frac{i\delta '(f)}{4\pi}-\frac{1}{4\pi^{2}f^{2}} [/math]

ここで δ(x) は ディラックのデルタ関数（式中では導関数が使用されていることに注意）。

ラプラス変換

ランプ関数の片側ラプラス変換は次の通りとなる。

[math] \mathcal{L}\left\{ R\left( x \right)\right\} (s) = \int_{0}^{\infty} e^{-sx}R(x)dx = \frac{1}{s^2}. [/math]

代数的性質

冪等性

ランプ関数の任意の反復合成はランプ関数に等しい。

[math]R(R(x)) = R(x)[/math]

外部リンク

Weisstein, Eric W. “Ramp Function”. MathWorld（英語）.